大貫義郎「解析力学」の一般化運動量が定義できる条件の質問

大貫義郎「解析力学」ｐ112に
一般化運動量p_r=∂Ｌ(q,qドット,t)/∂qドット_r
が成り立つ条件として
det(∂^2 L/∂qドット_r ∂qドット_s)≠０
とありますが、
この行列式が　どこから出てくるのか？
この行列式が≠０　で何故、上記が成り立つと言えるのかが
わかりません。

尚、この行列式を　簡単のために、ｘ、ｙの２次元で計算すると、
ポテンシャルＵの変数にqドットを含まなければ　ｍ^2になり、
確かに≠０　にはなっています。

No.1 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2017/10/24 03:39

その本は手元にないので確認ですが、

>一般化運動量p_r=∂Ｌ(q,qドット,t)/∂qドット_r
>が成り立つ条件
を考えているというので間違いないですか？
普通はこれはp_rの定義で使う式だと思うのですが、この式が成り立つ条件を考えているのであれば、p_rはどのように定義されているのでしょうか。

前後の文脈が分からないので正確な事は言えませんが、
多分、pたちが独立変数とみなせる条件、もっと具体的に言えば、
>p_r=∂Ｌ(q,qドット,t)/∂qドット_r
がqdotについて解けるという条件を考えると、陰関数定理から
>det(∂^2 L/∂qドット_r ∂qドット_s)≠０
が出てくるはずです。

この回答へのお礼

詳しく言うと
この本のｐ124までは
∂Ｌ(q,qドット,t)/∂qドット_r＝一般化運動量＝正準運動量
として書かれているのですが、
正準変換の章（ｐ124～）で、
「（上記の行列式）≠０が成り立つべしという保証はない」
「ラグランジュアンに戻ることなしに正準運動量をハミルトンの方程式から、、、決めることにする」
とあり、
正準運動量を、∂Ｌ(q,qドット,t)/∂qドット_r　でなく
ハミルトンの方程式の正準座表ｑと対になるものとして定義しています。

お礼日時：2017/10/24 10:38

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/10/26 06:33

う~ん 、いろいろ復習しないと数学的に

しっかりした答が返せないのですが

n次元ー般化運動量をp、n次元ー般化速度をν とすると

dp=A dv (Aはご質問の行列)

なので、Aが正則で無いと、速度の変化が相殺されて
運動量の変化にならない場合があるから
つまりpの自由度がvに対して減る瞬間があるから
ルジャンドル変換には致命的っぽい。

私はそこで考えるのを止めてしまいました(^^;

この回答へのお礼

ルジャンドル変換できるかどうかが、重要なんですね。
ルジャンドル変換も勉強します。ありがとうございました。

お礼日時：2017/10/26 21:19

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2017/10/26 02:41

>det(∂^2 L/∂qドット_r ∂qドット_s)　はヤコビアンですね。

Lはq,qdot,tの関数なのでヤコビアンとはちょっと違うかな。
qdotだけの関数だと思えば確かにヤコビアンではありますが。

この回答へのお礼

あっ、そうですね。
勉強になりました。ありがとうございます。

お礼日時：2017/10/26 21:16

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2017/10/25 00:09

であれば、#1に書いた事を言っているのだと思います。

ラグランジュ形式からハミルトン形式へ移る時に
qdot=qdot(q,p,t)
というようにqdotがq,p,tの関数である事を使っているはずです。

なので
>det(∂^2 L/∂qドット_r ∂qドット_s)≠０
が満たされていればpが正準運動量であると言えるわけです。

この回答へのお礼

陰関数定理を勉強しました。
det(∂^2 L/∂qドット_r ∂qドット_s)　はヤコビアンですね。
今まで　ヤコビアンがよくわかっていなかったので、
このような質問になったわけです。
ありがとうございました。

お礼日時：2017/10/25 21:37