単振動の微分方程式による解法について質問です。 直線上に単振動をする物体を考える。 運動方程式が (

単振動の微分方程式による解法について質問です。

直線上に単振動をする物体を考える。

運動方程式が
(d/dt)^2 x =-ω^2 x ①
と与えられたとする。

微分方程式①の特性方程式を解くと、
λ^2=-ω^2 より、
λ=±iω
よって、①の解は実数係数C1,C2を伴って、
x=C1e^(iωt)+C2e^(-iωt) と表せ、
=C1{cos(ωt)+isin(ωt)}+ C2{cos(ωt)-isin(ωt)}
=(C1+C2)cos(ωt)+i(C1-C2)sin(ωt)
となりますよね？

ここで、xは実数なので、C1-C2=0となり、
x=(C1+C2)cos(ωt)
=Acos(ωt)

と解いてみるとなりました。

しかし、これではx=Asin(ωt) や x=Acos(ωt-π/4)
のような形が表せないので解ではないことになりますが、これらは①の微分方程式は確かに満たします。


自分の微分方程式の解き方のどこがまずかったのか指摘していただけるとありがたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/10/22 17:30

#1です。

もう少し補足を。
xが実数であるという制約をつけるとC1,C2は必ず複素共役となります。
なぜそうなるかは自分で考えてみましょう。

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました！

お礼日時：2017/11/19 16:05

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/10/22 16:55

>①の解は実数係数C1,C2を伴って

ここが間違い。
C1,C2は実数である必要はない。複素数としてもなんら問題ない。
実際、C1,C2を純虚数であると仮定するとxはsin(ωt)の実数倍になってしまいます。