剰余の定理について教えてください

剰余の定理1
P(ｘ)を　ｘ－αで割った時のあまりは　P(α)
剰余の定理2
P(ｘ)を　1次式aｘ+ｂで割った時のあまりは　P(-b/a)-a分のbのつもり
これは理解しています。
ところで　整式P(ｘ)を　ｘ+２で割った時の余りが-1、２ｘ-１で割った時の余りが4である時、P(ｘ)を　(ｘ＋２）(２ｘ－1)で割った時の余りを求めよ。という問題をとく時、つまり２次式で割るという時　余りを　aｘ＋ｂとするのはなぜですか?　P(x)=(x+2)(2x-1)Q(x)+ax+b　どうして、余りを(ａｘ＋ｂ)にするのですか？　教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： hiro1122 回答日時： 2004/09/19 16:20

整式の割り算は、割られる式の次数が割る式の次数より低くなるまで、割り算を続けることになります。

ですから、２次式で割ったときの余りは１次式か０次式（定数）になります。（このことを、「余りはたかだか１次式」などと表現します）
そういうわけで、余りをaｘ＋ｂとすることができるわけです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。２次式で割るのだから余りは１次式以下と言うことですよね。

お礼日時：2004/09/19 21:15

No.3 回答者： springside 回答日時： 2004/09/19 18:43

たとえば、ある数を５で割った余りは？

　→0,1,2,3,4のいずれか
つまり、５より小さいですね。

これと同じような発想で、「余りの次数」は「割る式の次数」よりも小さくなります。
たとえば、２次式で割った余りは１次以下の式、３次式で割った余りは２次以下の式、４次式で割った余りは３次以下の式．．．

というわけで、(x+2)(2x-1)で割った余りは１次以下の式なので、ax+bと置くわけです。
ただそれだけのことであり、剰余の定理とは何の関係ありません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。そうですよね、単純に２次式で割った場合の余りは１次以下になりますよね、難しく考えすぎていました。

お礼日時：2004/09/19 21:13

No.1 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2004/09/19 16:03

適当な３次以上の式を２次式で割ってみて下さい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/09/19 21:16