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(1)aを実数の定数として, tを変数とする関数
f (t) = Cos[2*t] + Cos[t+a]
のtが実数を動いたときの最大値をM (a)、最小値をm (a) とします。

aが実数を動いたときのM (a) - m (a) の値域はどうなるのでしょうか


(2)aを実数の定数として, tを変数とする関数
f (t) = Cos[2*t]+Sin[2*t] + Cos[t+a]+Sin[t + a]
のtが実数を動いたときの最大値をM (a)、最小値をm (a) とします。

aが実数を動いたときのM (a) - m (a) の値域はどうなるのでしょうか

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2017/12/26 10:50

(1)について

x y平面上のパラメータ表示曲線
　　x(τ) = cos(2τ) + cos(τ)
　　y(τ) = sin(2τ) + sin(τ)
を考えます。これはカーディオイド(cardioid)ですね。
　で、原点を中心にして座標系を2aだけ回転することを考えます。すなわち
　　X = x cos(2a) - y sin(2a)
　　Y = x sin(2a) + y cos(2a)
という座標変換をする。すると
　　X(τ) = (cos(2τ) + cos(τ)) cos(2a) - (sin(2τ) + sin(τ)) sin(2a)
　　= cos(2τ) cos(2a) - sin(2τ) sin(2a) + cos(τ) cos(2a) - sin(τ) sin(2a)
　　= cos(2(τ+a)) + cos(τ+2a)
同様に
　　Y(τ) = sin(2(τ+a)) + sin(τ+2a)
となります。
　ここで、
　　t = τ+a
と定義すると
　　X(t,a) =cos(2t) + cos(t+a)
　　Y(t,a) =sin(2t) + sin(t+a)
となり、Xがご質問の式です。すなわち、ご質問の(M(a)-m(a))とは「カーディオイドを角度(2a)の方向の2本の平行線で挟んで、その「幅」を測ったもの」に他なりません。
　そのレンジがどうなるかというと、カーディオイドを描いてみれば視察によってもx(τ), y(τ)において幅が一番大きいのはy方向、一番小さいのはx方向だと分かる。後は簡単な計算でしょう。

(2) についても似たようなものかと思います。