半球の直径の求め方

質問させて下さい。
半球状の部屋を作りたい。平均天井高を3ｍ以上にするには、直径を何ｍ以上にしなければならないか。半径をrとして不等式を立て、求めなさい。居室の天井高は「室の体積÷床面積」で求められ、球の体積ＶはＶ＝3分の４πｒ＾３乗で求められる。
答えは4.5ｍ以上なのですが解き方がどうしても分かりません。

No.6 回答者： cact 回答日時： 2017/12/26 21:59

「平均天井高」が明確に定義されていないのでわかりづらくなっていますが、要は底面積と部屋の体積を変えずに

天井の高さを一定に均した場合の天井高のことを指している　つまり
『居室の天井高は「室の体積÷床面積」で求められ』の部分で定義される「居室の天井高」＝「平均天井高」
と考えてよいと思われます。

以下、私自身があまり数学が得意ではないのでまどろっこしく解いていきます。


室の体積をv、床面積をs、（平均）天井高をhとした場合

v ÷ s = h

hが3より大きい必要があるので、

v ÷ s > 3

部屋が半球状なので、体積ｖは球の体積Ｖの1/2となりますので

v = V/2
　=(4/3(πr^3))/2
　=2/3(πr^3)

床面積は半径rの円の面積となるので

s = πr^2


それぞれをvとsに代入すると

(2/3(πr^3)) ÷ (πr^2)　> 3

左辺を整理すると

(2/3) r > 3

両辺に3/2をかけて

r > 9/2

つまり半径＝4.5となるのですが、
今回は「直径」つまり2rを求める問題なので
答えが4.5mは誤りで
2r > 9　となり、
「9m以上」が正答ではないかと思います。

（もしくは問題文が誤りで「半径」を求める問題であれば4.5m以上で正解)

No.2の方が指摘されている通り、半径が4.5mですと一番高いところでも高さが2.25mになってしまうことからも
直径4.5m以上 が誤りであることは明白ですしね。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/12/26 14:18

その文章に書いてあることをそのまますればいい.

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2017/12/26 10:15

No.3です。

あらら、球の「直径」を求めるのですね？

半球で、高さを 3m 以上にするなら、直径は 6m 以上必要ですよ。それで終わり。
「問題がおかしい」というだけの話です。

No.3 は骨折り損をしてたみたいですね。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2017/12/26 10:12

部屋の形は、おそらく「半球」ではなく「ドーム型」なのでしょうね。

「半球」で「高さが 3m」なら、部屋の床半径も 3m であることは分かりますね？
以下、「ドーム型」（球殻は真球）として議論します。

＞居室の天井高は「室の体積÷床面積」で求められ

直方体の場合ですね。球形ではあてはまりません。

＞球の体積ＶはＶ＝3分の４πｒ＾３乗で求められる

球全体の体積であって、ドーム型の部屋の体積ではありません。

＞答えは4.5ｍ以上なのですが解き方がどうしても分かりません。

「解く」のでも何でもなく、部屋の床面積（あるいは床の半径）に合わせて「そのようにする」というだけです。
（もちろん、決め方としては「部屋の体積」に合わせて「そのようにする」ということもあり得ます）

「部屋の床面積（あるいは床の半径）」から決める場合には、下記の図を見れば分かるように、天井高さが 3(m) と決まっていれば、「球の半径」を R(m)、部屋の床の半径を r(m) とすれば、
　R² - (R - 3)² = r²　　①
が成り立ちます。部屋面積 S(m²) は
　S = パイr²
ですから、これを使えば①は
　R² - (R - 3)² = S/パイ　　②
と表せます。

これを解けば
　R² - (R² - 6R + 9) = S/パイ
→　6R - 9 = S/パイ
→　6R = S/パイ + 9
→　R = S/(6パイ) + 1.5
ですかね。

球の半径が R=4.5 (m) のときには、部屋の床半径は①より
　r = √(4.5² - 1.5²) = 4.24 (m)
床面積は
　S = 56.5 (m²)
になります。
問題文には、この辺の「床面積」とか「床半径」の条件があるのではありませんか？

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2017/12/26 09:53

これだけの条件では、答えが出せません。

半球状の部屋の場合は、側面の壁と天井の境目が分らないと計算できません。

尚、あなたが書いた答えの 直径4.5m 以上では、
天井の一番高い所でも 2.25m しかありませんね。
３ｍ 以上には遠く及びません。

No.1 回答者： nitto3 回答日時： 2017/12/26 08:08

半球というなら６ｍ以上だけどね、

その条件では半球は作れない。