マクロ経済学 新古典派の経済成長モデル

答えは2です。
私は1だと思っていて、どうして2が正解なのかわかりません。
解説では、定常均衡においてs/v=nより△y/y=nなので、貯蓄率が上昇しても長期的な経済成
長率は変わらない、としています。
でも長期においてs/v=nなら△y/y=n=s/vとなり貯蓄率が上昇すると分子が増えるので経済成長率も上昇しないんですか？

あと初歩的な質問で恥ずかしいのですが、どうして「当初は定常均衡にあり」という文から、長期的な経済成長率が定常均衡だとわかるんですか？

詳しい方解説お願いします。

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2018/04/15 07:57

回答してもあなたのようにウンでもスンでもない、無反応の人が増えたね！回答者にすると、もう2度と回答したくなくなる質問者ですよ。

回答でわからないことがあったらさらに追加質問し、分かったら質問を閉じるのが質問者のルールであり、マナーですよ！！！！

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2018/04/14 08:56

>でも長期においてs/v=nなら△y/y=n=s/vとなり貯蓄率が上昇すると分子が増えるので経済成長率も上昇しないんですか？

回答１の繰り返しになりますが、sが上昇してs'になると、長期均衡ではvも上昇し、v'になり、s'/v' = nが成立し、成長率はnで変わらない、ということです。

>どうして「当初は定常均衡にあり」という文から、長期的な経済成長率が定常均衡だとわかるんですか？
長期均衡は「定常状態」だからです。当初「定常状態」にあるということは、当初「長期均衡」状態にある、ということです。
これを理解するためには、新古典派成長モデルのメカニズムをきちんと勉強することです。短期の均衡は(t期の）貯蓄＝投資が成り立つことで、
K(t+1) - K(t) = sY(t)
と表わせますが、右辺にY(t)=F(K(t),L(t))=L(t)F(K(t)/L(t),1)=L(t)f(k(t))を代入すると
K(t+1) - K(t) = sL(t)f(k(t))
となる。ただし、k(t)=K(t)/L(t)で一人当たり資本（資本集約度）で、f(k(t))=F(k(t),1)=Y(t)/L(t)は一人当たりの生産量を表わす。上の式の両辺をL(t)で割ると
k(t+1)L(t+1)/L(t) - k(t) = sf(k(t))
となることはよろしいですか？確かめてください。ここで、L(t+1)/L(t) = 1+nを用いると
k(t+1)(1+n) - k(t) = sf(k(t))
k(t+1)(1+n) - k(t)(1+n) = sf(k(t)) - nk(t)
よって
k(t+1) - k(t) = [sf(k(t) - nk(t)]/(1+n)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（＊＊）

と、回答１で示した新古典派成長モデルの動学方程式（＊＊）が得られる。したがって、短期均衡列は（＊＊）を満たす｛k(t)、t=0,1,2,...｝で表わすことができる。このk(t)列はk(0)が与えられると、k(1),k(2),...とつぎつぎと定まり、sf(k)-nk＝０へ収束することがわかる。このsf(k)-nk=0の解をk*とおくとk*が長期均衡の一人当たり資本である。いま、上の動学方程式で、右辺へk(t)=k*とおくと、右辺は0となり、左辺のk(t+1)-k(t)=0、つまり、k(t+1)=k(t)となり、長期均衡は定常状態であることがわかるでしょう。
sf(k*) - nk* = 0
を変形すると
sf(k*)/k* = n
s/v* = n
ただし、v*= k*/f(k*) = k*/y* は長期均衡（定常状態）における資本係数（資本・生産量比率）だ。このように、長期均衡では資本K(t)したがって生産量（GDP)Y(t)は人口成長率ｎで増加し、よって一人当たり所得y(t)、一人当たり資本k(t)は一定にどどまる定常状態となる。

（＊＊）をもう一度見てください。いま、貯蓄率ｓの下で長期均衡状態にあり、k(t)=k*が成立していたとする。いま、貯蓄率sがt期に突然上昇しｓ’になったする。すると、t期に存在する資本ストックには変化がないのでk(t)は変わらないが、次期の資本ストックk(t+1)は変化し、t+1, t+2, ...と影響を受ける。その変化したk(t)の動学も動学方程式（＊＊）であらわされ、短期の均衡の系列はk(t)=k*を初期条件とする差分方程式(**)を解くことになる。特に、t+1期のk(t+1)の値は上の動学方程式（＊＊）より
k(t+1) = [s'f(k*) - nk*]/(1+n) +ｋ＊
と高くなる。よって、短期の成長率は高くなる！しかし、この新しいk(t)列も収束するので、収束したあとの長期均衡（＊＊は(＊＊）の右辺ゼロ、すなわち、
s'f(k**)-nk** = 0
s'f(k**)/k** = 0
s'/v**= n
となり、長期的成長率はnと依然と変わらない！

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2018/04/13 08:33

・長期均衡では定常状態

s/v = n
が成立するので、いま、貯蓄率がsからs'へ上昇したとすると、右辺ｎ（人口成長率）は一定ですから、資本係数(資本・産出量比率）ｖが
v' = s'/n > s/n =v
へと上昇し、長期成長率ｎ= s'/v'は変わりません。長期均衡では何がおきているかというと、高い貯蓄率に対応して資本集約度が上昇し、一人当たり所得が上昇しているのです。これを見るためには、新古典派生産関数を
Y = F(K,L)
と書くと、規模に関して一定という性質（数学的には1次同次）より
1/v = Y/K = F(1,L/K) = F(1, 1/k)　　
ただし、v = K/Y, k= K/Lである。ｖは資本係数（資本・産出量比率）、ｋは資本集約度（一人当たり資本）と呼ばれる。
が成り立つ（よいでしょうか？）よって、1/vは1/kの増加関数、つまり、ｖとｋは同じ方向に変化することがわかる（ｖの上昇はｋの上昇を意味するということ。）ではｋと一人当たり所得（一人当たり産出量）との関係は？もう一度生産関数に戻って
Y = F(K,L)
より、一次同次の性質を用いると
y = Y/L = F(K/L,1) = F(k, 1) =f(k)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（＊）
が成立し、ｙはｋの増加関数であることが分かる。よって、上で確かめた事実を用いると、ｙはｖと同じ方向に変化する、つまり、長期均衡においてはｓの上昇は、長期成長率はｎで変化しないが、ｖの上昇を招き、ｙ（一人当たり所得）を上昇させることがわかるのだ。
ここまで、理解できたでしょうか？理解できたら、新古典派成長モデルでは長期的には成長率はｓの値にかかわらずｎ（＝人口成長率）に落ち着くのか検討してみましょう。
新古典派成長モデルの動学は

k(t+1) - k(t) =[sf(k(t)) - nk(t)]/(1+n)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（＊＊）

で表わされることは学んだでしょうか？ここで、k(t)はt期の資本集約度（一人当たり資本）、f(・)は(*)で示した一人当たり産出量を一人当たり資本の関数に変形した生産関数だ。いま、初期（期間０）において一人当たり資本k(0)が
sf(k(0)>nk(0)
を満たしているとすると、上の動学方程式（＊＊）より
k(1) > k(0)
と、次期(期間１）の資本は上昇する。
sf(k(1))>nk(1)
なら、同様に
k(2) > k(1)
が成り立つ。このようにして、ｔ＝0,1,2,...に対して
sf(k(t)) > nk(t)
が成り立つ限り、k(t+1) > k(t)と資本集約度は上昇していく。しかし、f(k)関数はｋの上に凸の増加関数、つまりｋの増加と共に
ｓf(k)は増加していくが、増加の伸びは逓減するのに対し、nkはｋのリニアの関数だからｋともに逓減することなく増加していくことに注意すると、やがて
sf(k) = nk
に到達する。このｋが長期均衡で、このｋをk*と書くと
sf(k*)=nk*
となり、これを上の（＊＊）の動学方程式に代入すると
k(t+1) = k(t) = k*
が成立する。つまり、
n = sf(k*)/k* = s/[k*/f(k*)] = s/v*
と、定常状態へ向かって経済は収束する（長期均衡）。このあたりのことは、yを縦軸に、ｋを横軸にとり、をsf(k)の曲線とnk曲線(直線）のグラフ描いてください。有名な図なのでどの教科書にもある図です。

もう一度動学方程式（＊＊）に戻って、両辺をk(t)で割ると

[k(t+1) -k(t)]/k(t) = [sf(k(t)) /k(t) - n]/(1+n)

となることを確かめてください。左辺はｋのｔ期からt+1期への成長率を示している。いま、ｓが上方へシフトしたとする。短期においてはk(t)は変化しないので（なぜ？）、sf(k(t))/k(t)はｓが上昇した割合で上昇する。よって短期的にはｓの上昇は成長率を高める！！しかし、長期的には上昇したsをs'と書くと
s'f(k**)/k** = n
s'/v** = n
へと収束するのだ。この新しい長期均衡ではk**＞k*と資本集約度は上昇し、よって一人当たり所得もf(k**)＞f(k*)と、高くなるが成長率はｎで変わらないのだ！！！！