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実数x、yが3つの不等式
x≧-1、x+3y≦2、2x-3y≦4を満たす時、2x+yのとる値の最大値、最小値を求めよ。 
私の考え
まず図を書くためにy≦-1/3x+2/3,y≦2/3x-4/3と直しますよね。そして直す前の式で連立方程式を解いて交点を求め交点は(2,0)です。それからy=-2x+kとおいて一番大きくなるところと、小さくなるところを探します。このときあてはめるのは交点(2,0)とあと3点ははどうやったら見つけたらよいのですか。原点と最初の2式に当てはまる数字を見つければ求められるのですか

A 回答 (5件)

#4さんのおっしゃるとおり、


>元の理屈を知らないとだめです。

高校数学で線形計画法を学ぶ意図は、
・y=-2x+kはkの値が変わると直線が平行移動する
・領域内の点を(少なくとも1点以上)通るように平行移動させたときのkの範囲を求める
ことですからね。

ここからは「ちょっと踏み込んだレベル」の話になる(しかし高校1年生レベル)のでちょっと無視してもらってもよいですが・・・

3y-x^2の最大値を考えるときには、
詳しいことは省きますが、実は放物線3y-x^2=kが領域の境界の1つx+3y=2と接するときが最大になります。
接点を求める過程の中で、2次方程式x^2+x+(k-2)=0が重解を持つという条件にぶちあたります。これを解くと
D=1-4(k-2)=0→k=9/4→接点は(x,y)=(-1/2,5/6)
これは領域の頂点ではありません。

でも12y-x^2の最大値を考えるときには、
放物線12y-x^2=kが直線x+3y=2と接する接点を考えてみると、領域の外(具体的にはx<-1のところで)接するのでこの問題の解として考えることが不適切で、結局領域の頂点の1つ(-1,1)が解になります。

なお大学にいくと、「線形計画法(目的関数も制約条件も1次式)の最適解(の少なくとも1つ)は、実行可能領域の頂点にある」という定理を用いて、頂点のみに注目した最適解の探索方法が出てきます。
これは、大学でいう線形計画法が往々にして文字が多数(2次元や3次元にとどまらない)であり、いちいち図を描いて直線(や平面)を平行移動させてる場合じゃないことによります。
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>このときあてはめるのは交点(2,0)とあと3点ははどうやったら見つけたらよいのですか。



線形計画で最大、最小を調べるとき
交点の座標を代入して調べればよいという指導をします。
しかしそれは1次式のときです。
(線形計画なら1次式は当然ですが、応用として
2次式以上になると交点ではないときがあります。)

また完全に領域が閉じていないとこの方法では出来ません。
書いてある条件が間違っていなければ
この問題では閉じていませんね。
それでも最大値は(2,0)で求まりますが、
最小値だともう求まりません。

だから交点の座標を代入するというやり方は
簡便な方法として知っているのは良いですが、
元の理屈を知らないとだめです。

領域を図示して2x+y=kという直線が
この領域を通るときどこを通るときにkが最大となるか、です。
この問題では直線2x+y=kが
出来るだけ上にあるときで、それは点(2,0)を
通るときということになります。
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図が命の問題ですね.メモリを均等にとって図をとにかく丁寧に描いて下さい.


図にy=-2xの直線を書き入れて、あとは定規をその直線に合わせてから、傾きを保ったまま定規を平行移動させて行って下さい.交点は自然と見つかるはずです.
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まず、y≦2/3x-4/3って符号が逆ですよね。


あと3点の意味がよくわからないですが、

3つの不等式で囲まれた部分がでますよね。
あと、y=-2x+k
を平行移動して、突端に合わせて(直線が内部を通らないで接するようにして)やれば
その時が、最大や最小になります。
例えば、(2,0)の時最大です。
最小の場合も、直線をスライドしてやればわかります。
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(x,y)のとりうる領域は三角形ではないですか?


その3頂点を考えればよいのでは?1つの辺を忘れてませんか?
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