ゼータ関数がs=0のとき
ζ(0)=1+1+1+1+…
ですが、
なぜ、ζ(0)=-1/2となるのかがわかりません。

そんなことが許されて良いものでしょうか?
また、許されるとするならば、どのような条件下で
許されるものなのでしょうか?

A 回答 (5件)

>1+1+1+1+…=-1/2 と書くと間違いなんですね


間違いというか、この表記にも何らかの意味が含まれていると私は思うんですが..

>役立つ例なんかがあるとおもしろいと面白いと思いますが、どうでしょう?
ζ(0)ではありませんが、
ζ(-3)=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+.......=1/120
はカシミール効果の計算で使われています。
カシミール効果とは、真空中に微小な距離aを隔てておいた帯電していない二枚の金属板
のあいだに、真空の零点エネルギーの影響で引力が働くというものです。
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siegmund です.



> 解析接続で無理やり出した等式で特殊な解
という表現はちょっと賛成しかねます.

(1)  f(z) = 1/(1-z)
の Taylor 展開が
(2)  f(z) = 1 + z + z^2 + z^3 + ...
です.
z=2 を(1)に代入すれば f(2) = -1 ですが,
これを(2)で z=2 としたものから無理やり出した特殊な解とは言わないでしょう.

(1)と同様に,全複素平面で使える単一の定義式がζ関数にもあって,
それが Re(z) > 1 の場合に
(3)  ζ(z) = Σ(n=1 → ∞) 1/n^z   (Re(z)>1)
と変形してよいとなっているのです.
ζ関数の全複素平面で使える単一の定義式が(1)のように簡単なものでは
ないだけのことです.
ζ関数の全複素平面で使える単一の定義式を持ち出す代わりに
「(3)を解析接続して得られる関数がζ(z)」と言っても同じことです.
(1)の f(z) の定義の代わりに,(2)を解析接続して得られる関数,
と言ってもよいわけです.

ζ(0) = -1/2 が何かの役に立つかと?
さて,困りましたね~.
ζ(2) = π^2/6 とか ζ(4) = π^4/90 も何の役に立つかと言われると...
ζ(z) は数論と関係が密接ですから,そちらの関係で何かあるかも知れませんが,
私の知識では手に余ります.

なお,No.1 で書きましたリーマン予想
> z=-2, -4, -6, ... が零点で,
> その他の零点はすべて直線 Re(z) = 1/2 上にあります.
は,「任意の平方数の間に必ず素数がある」と同じことであることが
知られています.
3^2 と 4^2 の間に,ちゃんと素数(11,13)があるというわけです.
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siegmund です.



No.1 で書きましたように,ζ関数の定義は
(1)  ζ(z) = Σ(n=1 → ∞) 1/n^z   (Re(z)>1)
を解析接続して得られる関数ということです.
したがって,(1)に z=0 を代入しても意味はありません.

例えば,
(2)  f(z) = 1/(1-z)
をzでテーラー展開しまして
(3)  f(z) = 1 + z + z^2 + z^3 + ...
となりますが,もちろん |z| < 1 でしか使えません.
(3)に z=2 など代入しても意味がないわけです.
今のζ(0)の話も似たようものと思ったらいかがでしょう.
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この回答へのお礼

何度も投稿してくださってありがとうございます。

なるほど、こういう例がありましたか
この例を逆に考えると、値が発散してしまうような関数でも
なにか技をかけてやれば有限の値を吐き出させることが
可能な場合も考えられますね。(ちょっと強引ですが…)
この場合、技というのが解析接続であって、ζ(0)=-1/2は
解析接続で無理やり出した等式で特殊な解というわけですね
(ζ(0)=1+1+1+1+…=-1/2 と書くと間違いなんですね)
あとは、この無理やり出した解が役立つ例なんかがあると
おもしろいと面白いと思いますが、どうでしょう?
(無理難題で申し訳ないです。)

お礼日時:2001/07/18 23:05

私もこの式はきちんと理解しているわけではなく、なんとなーく腑に落ちないのですが、


コメントさせていただきます。

ζ(0)=-1/2
は、あくまで複素関数としての値だと思っています。
ゼータ関数の定義から
1+1+1+1+…=-1/2
と書いてしまうと変な感じがしますが、イメージとしては、ゼータ関数をz=1を除く
複素平面で自然に拡張してやると、無限大が「繰り込まれて」有限値が残るのだと
理解すればよいのではないでしょうか。
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もちろん,許されませんよね.


リーマンのゼータ関数の表式の一つが
(1)  ζ(z) = Σ(n=1 → ∞) 1/n^z
ですが,(1)が有効なのは
(2)  Re(z) > 1
の場合だけです.
Re(z) はzの実数部の意味.
これは,(1)の和が収束する条件に他なりません.

(2)の条件が満たされないときは解析接続することになります.
(2)の条件のもとでの(1)を解析接続して得られる関数が
リーマンのζ関数である,ということです.

なお,ζ関数が無限大の値になるのは z=1 のときのみで,
ここは1位の極,留数は+1です.
その他のzでは正則,
z=-2, -4, -6, ... が零点で,
その他の零点はすべて直線 Re(z) = 1/2 上にあります.
零点の Re(z) = 1/2 は未解決の問題(リーマンの第5予想)で,
解決には100万ドルの懸賞金がかかっています.
http://www.claymath.org/prizeproblems/riemann.htm
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