特性解はなぜ漸化式の分野で使われるんですか？ a_1=1 a_n＋1=2a_n+1 のとき 後ろの式

特性解はなぜ漸化式の分野で使われるんですか？
a_1=1
a_n＋1=2a_n+1
のとき
後ろの式を変形して。
a_n+1 -1=2(a_n -1) ←特にこの部分
より
a_n -1=2n-2
a_n=2n-1



この特性解と呼ばれるものが具体的に何を求めたものなのか、なぜここで特性解を用いるべきだったのか。
の2点が知りたいです！

高2なので難しい内容はわかりませんが、わかるようにしていただけるとありがたいです

No.5 ベストアンサー 回答者： tekcycle 回答日時： 2018/05/22 05:56

特性解とは何かは判りませんでしたが(その単語かどうかは忘れましたが、何だったか聞いたことがあるような無いような遠い記憶があるような無いような)、

要は、ｂ[n]＝ａ[n]－？が等比数列だと言いたいのでしょう。
その解答はめちゃくちゃですが。

ａ[n+1]＝２ａ[n]＋１
ｂ[n]＝ａ[n]－ｍとなるようなｂ[ｎ]を作ると、
左辺
ａ[n+1]＝ｂ[n+1]＋ｍ
右辺
２ａ[n]＋１＝２(ｂ[n]＋ｍ)＋１
＝２ｂ[n]＋２ｍ＋１
左辺＝右辺だから
ｂ[n+1]＋ｍ＝２ｂ[n]＋２ｍ＋１
ｂ[n+1]＝２ｂ[n]＋２ｍ＋１－ｍ
＝２ｂ[n]＋ｍ＋１
ｍ＝－１の場合、
ｂ[n+1]＝２ｂ[n]
では、ｂ[n]＝ａ[n]－(－１)とします。
ｂ[1]＝ａ[1]－(－１)
＝２
ｂ[ｎ]＝２^n
ａ[ｎ]＝ｂ[ｎ]＋(－１)
＝ｂ[ｎ]－１
＝(２^n)－１
略解ですがね。

ａ[n+1]＝２ａ[n]－１
＝２{(２^n)－１}＋１
＝{２^(n+1)－２}＋１
＝{２^(n+1)}－１
で成り立っている。
(２^1)－１＝２－１
＝１
でこれも成り立っている。

http://examist.jp/mathematics/math-b/recurrence- …
なんでｂ[n]を「書いてはいけないのか」は理解できません。
数列というのは数の列であって、規則性などそもそも無い物だって数列だったりします。
であれば、ａ[n]に何かを掛けたり何かを足したりした数列だって、存在して良さそうな物です。
その辺り、もし興味があるなら、数学のカテで質問してみると良いでしょう。
私は数学者じゃ無いので細かいことは判りません。
しかし、あなたが書いた解答は、ｂ[n]をきちんと書いてないことが混乱の原因になっているはずです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

お礼日時：2018/05/22 06:30

No.4 回答者： tekcycle 回答日時： 2018/05/21 21:12

何が書かれているのか理解できません。

> a_n＋1=2a_n+1
とは、[]の中身を下半分の小さな文字だとすると、
a[n]＋1=2a[n]+1
a[n+1]=2a[n]+1
a[n]＋1=2a[n+1]
a[n＋1]=2a[n+1]
のどれでしょう？
全面的に書き直して貰わないと話が通じないと思うのは私だけでしょうか。

この回答へのお礼

そうですね！
私自身も感じてました。添字は厄介だと。

上から2番目の漸化式です

お礼日時：2018/05/21 21:16

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2018/05/16 15:13

的外れでしたら、ごめんなさい。

「特性解」って「特殊解」と同義で、.
「一般解」に対する言葉ですか。

申し訳ありませんが、「漸化式の分野」は解りませんが、
「不定方程式」等では、一般解を求める手段として特殊解を使いますね。
（特殊解：求める答えではないが、少なくとも問題の式を満たす値。）
同じ様な理由ではないでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございます！


不定方程式で一般解を求めるのは確かに式を満たしているのは一目瞭然なのですが、今回であった特性解と言われるものは、違う文字で(a_n,a_n+1 のような)示されている2文字(今回で言えば漸化式で隣接している2数)が同じ値として仮定されて、それに基づいてその漸化式を満たす値を特性解と言うようです…

なぜそこで違う2文字を同じ値として考えれるのかがまず訳がわかりません！

お礼日時：2018/05/16 20:14

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/05/16 00:12

いちおう確認.

あなたのいう「特性解」とは, なんですか?

この回答へのお礼

おそらくしか分からないので、説明もつきません。
授業でこういうものだとしか説明がありませんでした

お礼日時：2018/05/16 04:26

No.1 回答者： takoハ 回答日時： 2018/05/15 20:26

https://mathtrain.jp/tokuseiequ

に記載してあると思いますが、大学数学レベルなので、理解は難しいと思われます！

この回答へのお礼

少しそれでは理解が難しかったです… 行列という内容とベクトルという内容の両者を習っていないので意味も理解できませんでした…
行列とベクトルの内容もわかるところはありませんか？

お礼日時：2018/05/16 06:30