一般相対性理論について質問です。

私は数学を専攻するポスドクです。
これまでは、構成的場の理論の論文を書いてきましたが、量子重力理論の数理物理学へと移行することに決めました。そこで、まずはマクロ系の重力理論の金字塔である一般相対性理論の勉強をしようと、内山龍雄著「一般相対性理論」を読んでいます。この本は、私が学部生のとき、「一般相対性理論」の授業を他学科聴講したときに自分なりにこの本を選び、とても良い本だと思いました。当時はほとんどすべて理解できたのですが、年月が経ったせいか、よくわからないところが出てきました。

この本の15ページに、「たとえば時間とか、２点間の距離という言葉はどのように解釈すべきか考え直さねばならない。そのような問題に対する回答の鍵は等価原理である。すなわち、まず問題になっている世界点Pの近傍に、座標系を適当に設け、それを基準としたとき、少くともPの近傍では重力が消滅するように座標系(X, Y, Z, T)を設ける。このような座標系を今後、点Pにおける局所無常力系とよぶことにしよう。このような好都合な系は等価原理により必ず存在する。」という記述があります。私は等価原理は理解しています。しかし、なぜ等価原理により、局所無重力系が存在すると言えるのか理解できません。

なぜ等価原理により、局所無重力系が存在すると言えるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• すみません、「局所無常力系」ではなく、「局所無重力系」です。

    補足日時：2018/06/03 07:21

No.11 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/05 07:17

「数学上、等価原理から局所無重力系の存在を演繹的に導けるでしょう。

」は数学者であるあなたの仕事です。
物理学者の私にはなんの意味も興味もありません。
何度も言いますが、数学の目的と物理学の目的は異なると言っているのです。
数理物理学の事を理論物理学と言います。理論物理学の大家ホーキング博士（2018年3月に逝去されました）の
素晴らしい理論はまだ誰も実験で証明していません。だから、アインシュタイン博士は相対性理論で、ホーキング博士もノーベル賞を受けていないのです。

この回答へのお礼

なるほど。私の研究テーマが一つ増えたわけですね。ありがたいことです。
そこで、konjii様の回答をベストアンサーとさせていただきます。
何度も付き合っていただき、本当にありがとうございました。

お礼日時：2018/06/05 09:11

No.10 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/05 06:02

＞ということは、等価原理から局所無重力系の存在を演繹的に導けないということでしょうか？

数学上、等価原理から局所無重力系の存在を演繹的に導けるでしょう。
しかし、局所無重力系の存在を実験で実存する事を証明しなければ、物理的意味はないと言っているのです。

この回答へのお礼

わかりました。

では、「数学上、等価原理から局所無重力系の存在を演繹的に導けるでしょう。」
という問いにお答えすることはkonjii様にできるでしょうか？

お礼日時：2018/06/05 06:48

No.9 回答者： lupan344 回答日時： 2018/06/04 21:50

参考までに、以下のリンクを見てください。

http://eman-physics.net/relativity/local.html
http://hooktail.maxwell.jp/bbslog/22728.html

この回答へのお礼

すみません、私は解析学の研究者としてやってきたので、幾何学の知識を忘れてしまい、わからないのです。

お礼日時：2018/06/05 09:08

No.8 回答者： eatern27 回答日時： 2018/06/04 14:34

一般相対論を勉強したのはずいぶん昔の話ですし、数学からも遠ざかっているので、

現役の研究者の方を満足させられるような証明などできそうにありませんが、

「等価の原理」と言っても、これを数学的に表現する方法にはいくつかあったかと思いますので、貴方自信がどのように理解しているのかを書かない事には、証明のしようがないでしょうね。
回答する側が等価の原理とは○○という意味です、としてそこから局所慣性系の存在を証明したとしても、等価の原理を○○と表現できるのは何故ですかという疑問が生まれるだけの可能性もありますから。

まぁ、リーマン多様体に基づいた議論をするという前提で良いという事が変わらないのであれば、例えば、
https://www.zweigmedia.com/diff_geom/Sec9.html
の9.2の証明(9.4のすぐ上にリンクがあります)のような議論で納得できるのかもしれませんが。（私自身は中身を見てませんが、この証明の冒頭で紹介されている文献も参考になるのかもしれません)

この回答へのお礼

すみません、私は解析系の研究者を続けてきたので、幾何学はほとんど忘れてしまっていて、よくわからないのです。

お礼日時：2018/06/05 08:56

No.7 回答者： satoumasaru 回答日時： 2018/06/04 07:55

＃４です。

お礼を拝見して再度書き込まさせていただきます。

＞なぜ自由落下させるとその系では無重力になるのか教えてください。

私の力ではきちんと説明できるかどうか自信はありませんが…
基本的に局所慣性系の自由落下というのは加速度運動です。
一般相対論は、重力による力と加速度運動による力は区別できないというものですから、
当然に局所慣性系においては、重力による力と自由落下による加速度運動の力とが相殺されて無重力になるのではないでしょうか。

なお、他の方の回答で気になったことがありましたのですこし書かせていただきます。

＞「一般相対性理論」は自然現象の中でまだ誰も実験出来ていません。
重力による時間の遅れは、1960年にハーバード大学にある22メートルの高低差の物理学研究棟で実験が行なわれ実証されています。

＞物理学から見て、「一般相対性理論」はまだ机上の空論にすぎないのです。
既にカーナビなどで利用されているGPSについては特殊相対論及び一般相対論による時間の補正を行っています。
ですのでいまや一般相対論は空論ではなくもっとも信頼できる重力理論とされています。

この回答へのお礼

自由落下させると無重力になることは理解できました。実験的に示されていることは私も知っていました。
ただ、「等価原理から局所無重力系の存在を示せ」という私の疑問はまだ解決されていないんです。

お礼日時：2018/06/05 05:43

No.6 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/04 07:39

Ichiesgrandchildren様

数学では、公理と公理から演繹的に導かれた定理のみが真実であるといえますが、物理学では公理と公理から演繹的に導かれた定理のみが真実とは言えません。何故なら、公理と公理から演繹的に導かれた定理が自然現象に合わない場合が多くあるからです。物理学の公理は、自然現象を観測してそれにより広く当てはまる公理を導く学問です。
　「一般相対性理論」は自然現象の中でまだ誰も実験出来ていません。物理学から見て、「一般相対性理論」はまだ机上の空論にすぎないのです。
故矢野 健太郎先生は『相対性理論』と言う著書を行列論で展開しました。その定理は素晴らしいものでしたが、
自然現象を説明するものでは無く、物理学から見れば猫に小判でした。

この回答へのお礼

ということは、等価原理から局所無重力系の存在を演繹的に導けないということでしょうか？

お礼日時：2018/06/05 05:37

No.5 回答者： lupan344 回答日時： 2018/06/03 09:49

物体と一緒に動く座標系は、局所慣性（無重力）系にならないですか？

この回答へのお礼

なると思います。これを等価原理からの演繹で示して欲しいのです。

お礼日時：2018/06/05 05:35

No.4 回答者： satoumasaru 回答日時： 2018/06/03 09:32

等価原理とは、「運動の加速度と重力加速度は区別できない」というものですよね。

自由落下させれば当然、その系（局所慣性系）では無重力になるということではないでしょうか。
見当外れだったらすみません。

この回答へのお礼

satoumasaru様の回答はなかなかいい線を指摘していると思います。では、なぜ自由落下させるとその系では無重力になるのか教えてください。

お礼日時：2018/06/03 18:39

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/03 08:15

№２に加えて、世界点Pが慣性系であればその近傍まで連続であるので、近傍は慣性系となります。

これが等価原理です。

この回答へのお礼

これもまた、慣性系が少なくとも１つは存在することを定理として導かない限り真理とはいえませんので、これも証明お願いいたします。

お礼日時：2018/06/03 18:35

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/03 07:40

一般相対性理論は慣性系と加速系を含む一般の物理世界を表したものですので、任意の慣性系が無数にあるはずです。

この回答へのお礼

私は数学の研究者ですので、公理と公理から演繹的に導かれた定理のみが真実であるといえます。konjii様、上記のことを定理として導いてください。もしそれができないなら、私の疑問は解決されたことになりませんので。

お礼日時：2018/06/03 18:34