対称行列について、質問です。 正方行列Aにおいて、成分が a_ij=a_ji a_ii=0 ぇあると

対称行列について、質問です。
正方行列Aにおいて、成分が
a_ij=a_ji
a_ii=0
ぇあるとき、この行列Aは正則でしょうか。

No.5 回答者： fef 回答日時： 2018/06/25 14:29

> Tacosanさん

ご指摘ありがとうございます．
確かにそうですね．

正則になる条件を探すために，頭の中で対角化してしまっていました．

対角化できなくても
　(固有値の積) = (行列式の値)
は言えているので，対称行列であるという条件は要りませんね．

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/06/25 13:40

固有値がすべて非 0 ならそれらの積である行列式も自動的に非 0 になるのでは＞#3.

No.3 回答者： fef 回答日時： 2018/06/25 11:45

回答No.2に補足します．

と言っても，補足しなくてもわかるとは思いますが，
「固有値がすべて非 0」なら正則行列になるというのは，
質問者さんのおっしゃる条件（のうちの対称行列という条件）が満たされている上での話です．

No.2 回答者： fef 回答日時： 2018/06/24 18:19

回答No.1に補足します．

2次正方行列や3次正方行列の場合，
質問者さんのおっしゃる条件に加えて「非対角成分がすべて非 0」であれば
正則行列になります．
これは行列式を計算すればすぐにわかりますね．

一方，4次以上の場合，一般的かつ実用的な条件はないと思います．
あえて言えば，
　・行列式の値が非 0 （← 当たり前の条件ですね）
とか
　・固有値がすべて非 0
というくらいでしょうか．

もう少し行列の形が限定されないと有用な条件は作れませんね．

No.1 回答者： fef 回答日時： 2018/06/24 15:55

例えば，行列

　[0 0]
　[0 0]
は仮定を満たしますが正則ではないですね．

非対角成分がすべて非 0 であるような場合でも，
例えば，行列
　[0 1 1 1]
　[1 0 1 1]
　[1 1 0 4]
　[1 1 4 0]
は行列式の値が 0 となるため非正則ですね．

この回答へのお礼

逆にどのような時に正則となりますか？

お礼日時：2018/06/24 16:40