射影空間と同相写像

お世話になります。
以下の問題で、解答の方針が与えられているのですが、同相写像であることをどう示せばよいかわかりません。
模範解答をお教え願えますでしょうか。

（問題）
１次元射影空間P^1は

１次元球面S^1と同相であることを示せ。

（方針）
S^1の点を(cosθ,sinθ), P^1=S^1/~の点を[(cosθ,sinθ)]と表し、写像f:S^1→P^1をf(cosθ,sinθ)=[(cosθ/2,sinθ/2)]と定めれば、これは同相写像である。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2018/07/16 17:02

とても易しい問題であるにもかかわらず、（方針）に答がほとんど書いてある。

唯一欠けているのは、fが「同相写像」の定義を満たしてるかどうかを確認する、という所だけです。

No.1 回答者： usa3usa 回答日時： 2018/07/16 05:16

まずは、S^1/~　の同値関係　～　の意味を考えてみたら？