ベクトルについて。

半径1の円Oに内接する△ABCで|↑OA+↑OB+↑OC|=1が成り立つならば△ABCが直角三角形であることを示せ。この問題が分かりません。教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。

質問者からの補足コメント

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  もう少し詳しく教えていただければと思います。大変恐縮ですが。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/08/28 14:07

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/09/01 10:30

まだ、解決しませんか？

no4補足説明をいたします

終わりの
「あとは、{(↑OA)+(↑OB)}･{(↑OA)+(↑OC)}＝０・・・④の意味を考えるだけ！」と言う部分について。
ベクトルの和はベクトルだから
{(↑OA)+(↑OB)}=(↑m)
{(↑OA)+(↑OC)}=(↑n)
というようにベクトルｍ、ｎに置き換えると
④は(↑ｍ)･{(↑ｎ)=0
これは内積＝０　ということです！
このとき、(↑ｍ)=0
または{(↑ｎ)=0
または(↑ｍ)と(↑ｎ)は垂直（直交）です

すなわち④が成り立つのは
・{(↑OA)+(↑OB)}＝０の場合
・{(↑OA)+(↑OC)}＝０の場合
・2つのベクトル{(↑OA)+(↑OB)}と{(↑OA)+(↑OC)}が直交する場合の3通りです。
1番目から(↑OA)=-(↑OB)だから↑OAは↑OBと同じ長さで、向きが真逆
つまりOからスタートしてAに至る半径OAと、OからスタートしてAとは１８０度反対の方向に進みBに至る半径OBは一直線上に並び、ABがOの直径と言えます→　直径に対する円周角は直角ですからC=90度

同様に2番目からはACがOの直径と言えます→B=90度

最後に三番目について
④の両辺を1/4倍して
(1/4){(↑OA)+(↑OB)}･{(↑OA)+(↑OC)}＝０
⇔(1/2)x(1/2){(↑OA)+(↑OB)}･{(↑OA)+(↑OC)}＝０
⇔[{(↑OA)+(↑OB)}/2]･[{(↑OA)+(↑OC)}/2]＝０
{(↑OA)+(↑OB)}/2・・・⑤とは中点（内分点）の公式ですから
⑤はABの中点を表しています。
同様に{(↑OA)+(↑OC)}/2はACの中点です
そこで、AB,ACそれぞれの中点をそれぞれD,Eとすると
(↑OD)={(↑OA)+(↑OB)}/2⇔2(↑OD)={(↑OA)+(↑OB)}
(↑OE)={(↑OA)+(↑OC)}/2⇔2(↑OE)={(↑OA)+(↑OC)}
これらを④に代入すると
2(↑OD)・2(↑OE)=0⇔(↑OD)・(↑OE)=0
よって三番目からはABの垂直2等分線とACの垂直2等分線が直交することが分かります（参考：円の弦の垂直二等分線は円の中心を通る）。→四角形ADOEはD=O=E=９０度必然的にA=90度

以上から△ABCはAまたはBまたはCが直角の直角三角形であると言えるのです。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/08/28 16:50

△ABCが半径1の円Oに内接することを大いに利用します。

つまり登場するベクトルはすべてOの半径であるという事を
すると、与えられて式が|↑OA+↑OB+↑OC|=|↑OA|　(∵1=|↑OA|)
となるのはいいですか？
これを両辺2乗します。
|↑OA+↑OB+↑OC|²=|↑OA|²
左辺=|↑OA|²+|↑OB|²+|↑OC|²+2(↑OA)・(↑OB)+2(↑OA)・(↑OC)+2(↑OB)・(↑OC)=|↑OA|²
両辺に|↑OA|²があるからこれは相殺されるので
|↑OB|²+|↑OC|²+2(↑OA)・(↑OB)+2(↑OA)・(↑OC)+2(↑OB)・(↑OC)=０・・・①
ここでもう一度|↑OA|=|↑OB|=↑OC|=1を利用
すると①は
|↑OA|²+|↑OA|²+2(↑OA)・(↑OB)++2(↑OA)・(↑OC)+2(↑OB)・(↑OC)=０
２|↑OA|²+2(↑OA)・(↑OB)+2(↑OA)・(↑OC)+2(↑OB)・(↑OC)=０
|↑OA|²+(↑OA)・(↑OB)+(↑OA)・(↑OC)+(↑OB)・(↑OC)=０・・・②
②に因数分解的操作をして
②左辺=(↑OA)･{(↑OA)+(↑OB)}+(↑OC)・{(↑OA)+(↑OB)}
={(↑OA)+(↑OB)}･{(↑OA)+(↑OC)}＝０

あとは、{(↑OA)+(↑OB)}･{(↑OA)+(↑OC)}＝０・・・④の意味を考えるだけ！
④が成り立つのは
・{(↑OA)+(↑OB)}＝０の場合
・{(↑OA)+(↑OC)}＝０の場合
・2つのベクトル{(↑OA)+(↑OB)}と{(↑OA)+(↑OC)}が直交する場合の3通りです。
1番目からABがOの直径と言えます→C=90度
2番目からはACがOの直径と言えます→B=90度
3番目からはABの垂直2等分線とACの垂直2等分線が直交することが分かります。→A=90度
ゆえに△ABCはAまたはBまたはCが直角の直角三角形であると言えます。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/08/27 22:06

ヒントその２

OA　OB　OCは円Oの半径だから
|↑OA|=|↑OB|=↑OC|=1
よって
|↑OA+↑OB+↑OC|=|↑OA|(=1)
この両辺を2乗します。
この後も適宜|↑OA|=|↑OB|=↑OC|を利用すれば
適切な形に変形することができ
結果△ABCが直角三角形であることを示せますよ！＾＾

No.2 回答者： tekcycle 回答日時： 2018/08/27 19:36

一目見て判らないから問題になってるんで、判らないのは当然です。

問題ありません。
問題は、手が止まっていることです。

まず、半径１の円に内接する任意の三角形だとどんなことになるのか、図を描いてみたでしょうか。
円上に、重ならないように点を３つ取れば、それで内接する三角形ができてしまいます。
ＯＡ→＋ＯＢ→＋ＯＣ→と言われても、何のことやらさっぱり判らない、何やらかなりの部分打ち消し合うのでは、という気はしますが。
例えば、円の中心をｘｙ座標の原点に持ってきて、(０,１)(ｂ,－√(１－ｂ²))(－ｂ,－√(１－ｂ²))なんてｙ軸対象の三角形をつくれば、3つを足したベクトルはｙ方向の短いベクトルになるでしょう。

なんて考えながら、ＡＢＣが直角三角形になる場合はどうかというと、底辺ＡＣが直径になって
Ｂが円上のどこかにある、ただしＡやＣ以外の場所、というようなことでしょう。
座標で示すと、例えばどうなるのか。自分でやってみて下さい。
手を止めずにあれこれ試行錯誤していれば見えた問題でしょう。

私なら、A点を固定もしくはどこにあっても円を回転させて同じ位置に持ってくる、B点ははじめから円上の任意の点、それに対して、C点を、ＡＣが円の直径になるような位置から、原点中心に角度φずれた、と仮定して、ＡＣが直径なら１になるけど、ずれたら１になりません、と証明するでしょう。
ベクトルが苦手なら、座標軸を導入してやると、ベクトルも見やすくなることがあります。
座標軸や方程式の計算で問題が解けることもあります。

あるいは、最初からベクトル計算に持ち込むのであれば、直角＝内積が０として、どこか一角の内積が０、場合によっては残り2つの角がθと(π／２)－θ、として計算する、式変形してそう持ち込むでしょう。
Oを基準にして計算すると上手く行かないだろうから、ここを改良してやります。
ひょっとすると、その時に、ＡＣかどこかが円の直径だから、というような情報が必要になるかもしれません。
お絵描きは色々しておいた方が、アイディアは膨らみやすいです。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/08/27 14:41

先ずは両辺2乗してみましょう。

そうすれば、示せます。
2乗したら、もう少し式を変形することを試みましょう。
適した形にできれば、ABまたはBCまたはCAが直径という3パターンになることが示せます。
円に内接する三角形の1つの辺が円の直径なら、それは直角三角形です。