[至急] 数3の微積分の問題です。 [問い]f(x)=∫(0→1)(x-t)f(t)dt+13 これ

[至急]

数3の微積分の問題です。
[問い]f(x)=∫(0→1)(x-t)f(t)dt+13
これでxにtを代入して計算したのですが、
答えが合いませんでした。
模範解答は確認したので、なぜ違う答えがでるのかを教えてください

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/09/30 11:13

No.2の追加解説

これでxにtを代入して計算したのですが、＞

f(x)=∫(0→1)(x-t)f(t)dt+13
この式にx=tを代入すると
f(t)=∫(0→1)(t-t)f(t)dt+13=∫(0→1)(0)f(t)dt+13
となるように思うかも知れないが
tは積分変数です。積分変数はどんな変数を使ってもよいので、例えばyを使ってもよいので、上の式は
f(t)=∫(0→1)(t-y)f(y)dy+13≠∫(0→1)(0)f(t)dt+13
となり「x=tを代入する」ということは不可能な操作です。
「どんな変数を使ってもよい」という作業変数のtを、f(x)の独立変数のｘに代入することはできません。xには任意の一定の数を入れることができるが、tは積分のとき０から１までの間で変化する数だから一定の数ではないからです。
f(x)を定義する式の右辺にf(t)が入っているので、f(t)が解らないと、f(x)が解らないという関係で、これを関数方程式といいます。
例えば、x＝3x－２を計算せよ、は方程式です。左辺のxを求めるために、右辺の3x－２を計算しようとしても、xが解らないので、3x－２が計算できないというのと同じ理屈です。関数方程式を解かないとf(x)は得られません。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/09/30 09:52

f(x)=∫(0→1)(x-t)f(t)dt+13＿＿①　を計算する。

(x－t)f(t)= x f(t)－tf(t)を①に入れると
f(x) =∫(0→1)(x－t)f(t)dt+13=∫(0→1)(xf(t)－tf(t))dt+13
=∫(0→1)xf(t) dt－∫(0→1)tf(t))dt+13
=x∫(0→1)f(t)dt－∫(0→1)tf(t))dt+13＿＿②
ここで∫(0→1)f(t)dt=A，∫(0→1)tf(t)dt=B＿＿③
と置く。積分の結果は定数だから、A,Bは定数である。これを②に入れると
f(x)=xA－B+13＿＿④
これを使うと、積分ができて③の積分は、それぞれ、⑤⑥となる。
∫(0→1)f(t)dt=∫(0→1)f(x)dx=∫(0→1)(xA－B+13)dx
= [(1/2)Ax^2－Bx+13x](0→1)= A/2－B+13＿＿⑤
∫(0→1)tf(t)dt=∫(0→1)xf(x)dx=∫(0→1)x(xA－B+13)dx=∫(0→1)(A x^2－Bx+13x)dx
= [(1/3)Ax^3－(1/2)Bx^2+(13/2)x^2] (0→1) = A/3－B/2+13/2＿＿⑥
⑤⑥を③に入れると⑦になる。この連立方程式を解くと⑧となる。
A/2－B+13=A，A/3－B/2+13/2=B＿＿⑦
A－2B+26=2A，2A－3B+39=6B
－2B+26=A，2A+39=9B，2(－2B+26)+39=9B
52+39=13B，91=13B，B=91/13=7，A=－2B+26=－14+26=12
A=12，B=7＿＿⑧
これを④に入れると
f(x) =12x－7+13=12x+6＿＿⑨

No.1 回答者： lasato 回答日時： 2018/09/29 19:13

tで積分する時にxはtによらない定数として扱います！

　なぜならxには1や2などの具体的な定数を入れ、それをxとして一般化したものがf(x)だからです!
　その意味を考えれば、xに(積分変数としての)tは代入できないことは理解できるはずです!