助けて！！

　この問題を解いてみてください！
１、基本ベクトル（x,y,z方向の単位ベクトル）をI,J,Kとするとき
I*I=J*J=K*K=0
I*J=-J*I=K,J*K=-K*J=I,K*I=-I*K=J
を証明せよ。
２、ベクトルA.B,CにおいてA・(B*C)=0が成立すれば、A,B,Cは同一
平面上にあることを証明せよ。
説いてくださるととてもうれしい！！

No.4 回答者： brogie 回答日時： 2001/07/22 16:00

回答は出揃っていますから、それ以上必要はないでしょう。

これはベクトルについての基本ですから、確り理解しておきましょう！
karu42さん頑張ってネ！

参考URL：http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/MU …

No.3 回答者： noname#1499 回答日時： 2001/07/22 05:04

*は×（外積）ですよね？

I＝（１、０、０）
J＝（０、１、０）
K＝（０、０、１）

と具体的に書いて行列式を計算しましょう。

または、右ねじの法則を使いましょう。試しに２問目で使ってみましょう。

ベクトルA、ベクトルB、ベクトルCがあるとき、

ベクトルB×Cは、BからCに向かってネジを回したときにネジが進む向きに指します。従って。ベクトルB×CはベクトルB、ベクトルCに直交するベクトルです。もっと言えば、ベクトルBベクトルCがこの順序で張る平面の法線ベクトルに一致します。ベクトルB×CとベクトルAの内積が今０なので、ベクトルB×CとベクトルAは直交します。とすると、ベクトルAはどこに行けばいいのかおのずと分かりますね？ベクトルB×C（＝平面BCに直交する法線ベクトルの向き）とベクトルAは直交するのですから。

このことを実際の空間で確めるには、1問めのI,J、Kを使ってI・（J＊K）を計算してみてください。ゼロになりますか？なりませんか？次に例えば、D＝３J＋２KとなるベクトルDを用いて、D・（J*K)を計算してみてください。今度はちゃんとゼロになりましたでしょうか？そしてこのベクトルDはどういうベクトルでしょうか？確めてみてください。

No.2 回答者： taropoo 回答日時： 2001/07/21 23:49

２つのベクトルをａ,ｂの外積をｃ＝ａ×ｂとすると、幾何学的には次の３つの性質を持ちます。

１．長さはベクトルａ,ｂの張る平行四辺形の面積に等しい。
２．ｃはａ,ｂの両方に垂直である。
３．ａ，ｂ，ｃは右手系をなす。

代数的にいうと
　　　　ａ=(a1, a2, a3)
　　　　ｂ=(b1, b2, b3)
　　　　ｃ=(c1, c2, c3)
として
　　　　c1 = a2*b3 - a3*b2
　　　　c2 = a3*b1 - a1*b3
　　　　c3 = a1*b2 - a2*b1
です。

問題１に関しては「x,y,z方向の単位ベクトル」と成分が与えられているので
　　　　I=(1,0,0), J=(0,1,0), K=(0,0,1)
を上の代数的な定義に代入してやればほとんど自明に解けます。

問題２も同様に代数的に解いていきましょう。
　　　　Ａ=(a1, a2, a3)
　　　　Ｂ=(b1, b2, b3)
　　　　Ｃ=(c1, c2, c3)
さらにＤ=Ｂ×Ｃとして
　　　　Ｄ=(d1, d2, d3)
さて、まず、Ｄを求めましょう。
　　　　d1 = b2*c3 - b3*c2
　　　　d2 = b3*c1 - b1*c3
　　　　d3 = b2*c2 - b2*c1
こうすると
　　　　Ｂ・Ｄ = b1*d1 + b2*d2 + b3*d3
　　　　= b1(b2*c3 - b3*c2) + b2(b3*c1 - b1*c3) + b3(b2*c2 - b2*c1)
　　　　= 0
同様にＣ・Ｄ = 0 も確かめられます。
更に仮定よりＡ・Ｄ = 0

よってベクトルＡ，Ｂ，ＣはＤを法線ベクトルとする平面上にある事が示されました。

No.1 回答者： ume_pyon 回答日時： 2001/07/21 21:31

ベクトルの基本性質を理解するいい問題です。

たぶん、力学などのテキストに載っていると思うので、そちらを参照してみて下さい。
でも、これではあまりに無責任なんで、私なりのベクトルのイメージ的な理解の
仕方をアドバイスします。

ベクトル＊ベクトル＝ベクトルです。つまり、向きをもつのがポイントです。
この点が内積との大きな違いです。さらに、その向きは右ネジの方向に従いますから、
i*jとj*iは符号が異なるのですね。
k,m,nが、お互いに垂直な単位ベクトルであるとき、１．のようなことがいえるのです。
でも、これってあたり前といってしまえばそれまでですし、証明は難しいですよね。
僕も基本定理の証明は苦手です。。。図を書いてみると分かりやすいですよ。

２．について。a・(b*c)はa,b,cを辺とする平行六面体（a,b,cを辺とする箱）の
体積のことなんですね。なぜそうなるかは考えてみて下さい。図を書いてみると
わかりますよ。このことより、a・(b*c)=0となるときのベクトルの関係は分かりますね。

それにしても、証明って難しいですよね。