有理数(の分母・分子)の素因数分解を考え、特に、一つの素数pに限定して調べる

問 a,b,cは有理数。
a＋b＋c,2ab＋2bc＋2ca,3abcが全て整数⇒a,b,cはどれも整数を示せ

三次方程式を使う解が一つありますが、質問タイトルのようにして解けると聞きました。教えていただけないでしょうか

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/10/25 00:18

a, b, c を既約分数で書いて (整数は分母が 1 の分数である: 念の為) 任意の素数 p の倍数であるような分母がいくつあるかを考える.

1個と 3個はほぼ明らかにダメなので 2個のときだけが問題になるが, 3abc が整数という条件では 2ab+2bc+2ca を整数にできないのでアウト.

この回答へのお礼

質問後、aをq/p、bをs/r、cをu/tとしたときpqrがl＾m×k(kは０でない整数、lは素数)としてやったのですが、本質的には同じですね。質問タイトルのように解いてる気がしなかったのですがお陰でスッキリしました！ありがとうございます。0を含む時も場合分けしなきゃで案外大変ですね。

お礼日時：2018/10/25 23:07