複素関数(複素解析)の問題で ガウス積分の定数aが複素数ζになっていて、 複素数ζの実部が正であると

複素関数(複素解析)の問題で
ガウス積分の定数aが複素数ζになっていて、
複素数ζの実部が正であるとき、

この積分値が√a/2√ζになることを示す問題だと思うのですが、分かる方いますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/01/08 20:20

適当な積分経路をとり、実数の積分に帰着させることになります。

xをz=(適当な複素数)*xに置き換えた経路にすると
-ξ*z^2=-ξ*(適当な複素数)^2*x^2
となります。
"適当な複素数"を
ξ*(適当な複素数)^2　が実数になるようにとればeの指数は実数になります。
このような"適当な複素数"は偏角が-arg(ξ)/2であればよいので一番適当なものは
適当な複素数=e^(-i*arg(ξ)/2)
とすればよいでしょう。

このようなzを選ぶとその経路は実軸を0を中心として-arg(ξ)/2傾けた直線になります。
後は実軸の経路と上記の経路を|z|≦Rに限定し、その二つの経路の端同士を半径Rの弧で結ぶ閉じた経路を作ってみればよいでしょう。
被積分関数はいたるところで正則なのでこの閉じた経路での積分は当然のことながら"0"になります。
R→∞にしたときのそれぞれの経路での積分の値を評価すれば求める積分が計算できます。