Ｒの連結な部分集合

Ｒの連結な部分集合がＲ全体または区間に限られることの証明で、
Ｍ（連結）⊂Ｒにたいして、
α、β∈Ｍに対して、α＜β⇒[α,β]⊂Ｍである（★）

ここで、Ｍが有界ならばそれぞれsupM=b,infM=aがそんざいする。ここで、★より直ちに（a,b)⊂Ｍが導かれる。とあるのですが、
★からどうして、（a,b)⊂Ｍが導かれるのですか？
教えてください。

質問者からの補足コメント

• 追加で、このとき、（a,b)⊂Ｍ⊂[a,b]（＊）であるから、
  Ｍ＝（a,b)or[a,b]or[a,b)or(a,b]が成り立つとあるのですが
  ＊からどうしてこれがわかるのですか？

    補足日時：2019/01/16 01:35

No.1 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2019/01/16 12:41

a<bの場合に絞って考えます。

(a=bならMは1点集合なので（a,b)=∅⊂Ｍ)
任意に a<α<β<bを取ると、上限下限の定義よりα、β∈Ｍなので[α,β]⊂Ｍです。
これから(a,b)⊂Ｍとなります。aおよびbは必ずしもMに含まれないことに注意しましょう。
追加も同様で、[a,b]の中でMに含まれない可能性がある点はa,bのみですから4種類の何れかになります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
解決できました。

お礼日時：2019/01/16 16:27