直積空間

画像の主張が成り立つのがピンと来ません。
明らかなようなのですが。
直積空間において有限交叉であることがよくわかっておりません教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/01/20 04:29

S=Π_{λ∈Λ}S_λ

Fを有限交叉性をもつSの部分集合系とする
Fが有限交叉性をもつという事は

Fの任意の有限部分集合
{X_k}_{k=1～n}⊂F
に対して
∩_{k=1～n}X_k≠φ
が成り立つという事だから

このとき,prx:S→S_λに対して
prx(F)={prx(X)|X∈F}はS_λ部分集合系として

{Y_k}_{k=1～n}を
prx(F)の任意の有限部分集合
{Y_k}_{k=1～n}⊂prf(F)
とすると

k=1～nに対して
Y_k=prx(X_k),X_k∈F
となるX_kがある
{X_k}_{k=1～n}
はFの有限部分集合
{X_k}_{k=1～n}⊂F
で有限交叉性から
∩_{k=1～n}X_k≠φ
だから
a∈∩_{k=1～n}X_k
となるaがある
k=1～nに対して
a∈X_k
だから
prx(a)∈prx(X_k)
↓prx(X_k)=Y_kだから
prx(a)∈Y_k
だから
prx(a)∈∩_{k=1～n}Y_k
となるprx(a)があるから

∩_{k=1～n}Y_k≠φ

∴
prx(F)は有限交叉性をもつ

この回答へのお礼

ありがとうございます
解決しました

お礼日時：2019/01/21 17:25