統計学の証明問題

n 個のデータ x1,..., xn(ただし，データの値は全て異なるとする)の平均値を x¯ ，メディアンを medx，標 準偏差を Sx とする．このとき， |x¯ −medx|≤Sx を示せ。という問題なのですが,
(x¯−medx)^2=(1/n・Σ(xi −medx))^2
=(1/n)^2・(Σ(xi −medx))^2
≤1/n・Σ(xi −medx)^2
となり、medx ≤ x¯ならば
≤1/n・Σ(xi −x¯)^2
=Sx^2
となり両辺の平方をとって示せるのですが、
medx > x¯の場合が示せません。どなたかわかる方がいたらお願いします。

質問者からの補足コメント

• 解答ありがとうございます
  medx < x¯という条件がないと最後の変形ができなくて
  (x¯ −medx)²≦Sx² という式を示すことができないと思うのですが、そこはどうなのでしょうかり

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/01/21 14:48

• (x¯ −medx)²≦Sx²
  medx ≦ x¯ ならば (x¯ −medx)²≦Sx² を示すことができるが、
  medx > x¯ のときはそもそも(x¯ −medx)²≦Sx²を示すことができないのでどのようにすれば良いかを聞きたかったのですが…

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/01/21 17:10

• (x¯−medx)^2≤1/n・Σ(xi −medx)^2 ≤ 1/n・Σ(xi −x¯)^2=Sx²
  この後ろ二行は medx ≤ x¯ という”仮定のもと”不等式が成り立って(x¯ −medx)²≦Sx²ですよね。
  medx > x¯ならば
  1/n・Σ(xi −medx)^2 > 1/n・Σ(xi −x¯)^2となり、(x¯ −medx)²≦Sx²を示せないというのが疑問点です。
  medx と x¯　の大小によって1/n・Σ(xi −medx)^2 と 1/n・Σ(xi −x¯)^2　の大小が決まるのですが、medx > x¯のとき
  (x¯−medx)^2 ≤ 1/n・Σ(xi −x¯)^2 (=Sx²) ≤ 1/n・Σ(xi −medx)^2 となって、前2つの不等式が証明できないという感じです。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/01/21 20:36

No.7 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/01/22 06:41

もしかすると、絶対値記号｜｜の意味を勘違いしてる？

｜10｜ = ｜-10｜ = 10。

だから√(a²)は、aが正であっても負であっても、気にせず|a|　なんだけど・・・

No.6 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/01/21 22:31

(x¯−medx)²≦1/n・Σ(xi −medx)²が求まってるんでしょう？

1/n・Σ(xi −medx)²は分散だから(Sx)²ですよね？
だから(x¯−medx)²≦(Sx)²が求まってるんですよね？

Sxはどんな場合でも0≦Sxなんですから、
(x¯−medx)²≦(Sx)²から、直ちに|x¯−medx|≦Sxが結論ですケド・・・。

例で。
(a-b)²≦3²なら、|a-b|≦3ですよ。
a=3,b=1の時、0≦(3-1)だから (3-1)≦3
a=1,b=3の時、(1-3)<0だから -(1-3)≦3
|3-1| = |-(1-3)|=2ですよ。

2乗を外す時、0≦(a-b)なら√(a-b)²=a-b
(a-b)<0なら√(a-b)²=-(a-b)として、√xは必ず正としてる訳です。
だから、√(a-b)²=|a-b|と書いて、負なら符号を変えて正にしてる訳。

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/01/21 18:43

>>medx > x¯ のときはそもそも(x¯ −medx)²≦Sx²を示すことができないので

ええ～ッ。できるでしょう？

(-1)²=(1)²ですよ！

(x¯ −medx)²=(medx-x¯)²でしょう？　ほんとアホくさ！

No.4 回答者： i_dont_watch_movie 回答日時： 2019/01/21 17:04

こんにちは！！

よませていただきました！！
わかりませんでした！！
ありがとうございました！！

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/01/21 16:04

√a²=|a|なんだけどなぁ。

(x¯ −medx)²=(medx −x¯)²

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/01/21 14:28

a²≦b²で0≦bの条件があれば

0≦aの時、a≦b
a<0の時、-a≦b
⇒纏めると、|a|≦b

と言う事、示せてるケドね

Sxは標準偏差なので、0≦Sx
(x¯ −medx)²≦Sx²より

medx ≤ x¯ならばx¯ −medx≦Sx
medx > x¯ならば-(x¯ −medx)≦Sx
⇒纏めると、|x¯ −medx|≦Sx

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/01/21 14:23

二乗にしているので、どちらも一緒です。

(xi −medx)＾2＝（medx-xi）＾2