(Q1) 系のエネルギーと規格化された波動関数を求めよ。 (Q2) 2つの状態、即ち量子数(nx=1

(Q1)
系のエネルギーと規格化された波動関数を求めよ。

(Q2)
2つの状態、即ち量子数(nx=1,ny=2)の状態と量子数(nx=3,ny=1)の状態のエネルギーとが一致して縮重している時、長方形の箱の大きさにはどのような制限（規則）があるか？

(Q3)
(Q1)で求められたエネルギーについて、少なくとも1組の縮重したエネルギー準位を持つのはどのような場合か？なるべく簡単な数式を用いて表現し、式の意味を言葉でも説明せよ。(全ての準位が縮重している必要は無い。)

これらの問題はどのように解けば良いでしょうか？
解答と解説をお願いしたいです。

質問者からの補足コメント

• 申し訳無いです、問題文が半分程飛んでおりました...。
  
  2次元の平面内で、各辺の長さがaとbの長方形の箱(但しa≠b)に閉じ込められている質量mの粒子について考えます。このとき、系(粒子)の状態は2つの量子数(nx,ny)で指定されます。
  
  こちらがQ1の前の文になります。

    補足日時：2019/02/01 12:02

• >>eaternさん
  
  恥ずかしながら理解度は非常に低いです...。
  教科書ですと1次元の井戸型ポテンシャルについての表記はあるものの、2次元についての拡張には詳しく載っていなくてほぼ全く解けないという感じです、出来れば詳細な解答が欲しいです...。
  変数分離すれば1次元の量子井戸の問題と同じとのことですが2次元の平面を考える問題でもラプラシアンを1次元のものを使用して良いものなのでしょうか？

    補足日時：2019/02/02 20:42

• 変数分離した際のX(x)とY(y)をシュレディンガー方程式で解く際のラプラシアンは1次元のものを使う、という解釈で合っているでしょうか...?
  
  自由粒子であれば1次元の解き方は分かりますが2次元への拡張がよく分からないです...。
  教科書(マッカーリ･サイモン物理化学･上)を見ても2次元の解き方は載っておらず、どのように解けば良いのかが分からないです

    補足日時：2019/02/02 23:19

No.4 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2019/02/04 09:42

>変数分離した際のX(x)とY(y)をシュレディンガー方程式で解く際のラプラシアンは1次元のものを使う、という解釈で合っているでしょうか...?

とにかく固有関数さえ求まればいいのなら、それで求まります。
もっとも量子力学を理解する事が目標であるのなら、それで求まるという事の導出を理解する事が重要だとは思いますが。


変数分離という方法自体を初めて見たのなら、自力で最後まで導出するのは難しいとは思いますが、
この方法自体は色々なところで登場するので、少し調べればどういう計算をしているのかという情報は見つかるかと思います。
目次しか見ていませんがお示しの教科書でも「水素原子」の章の辺りで使っている可能性は高いのでは。

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2019/02/02 22:32

>変数分離すれば1次元の量子井戸の問題と同じとのことですが2次元の平面を考える問題でもラプラシアンを1次元のものを使用して良いものなのでしょうか？

ψ(x,y)=X(x)Y(y)としたときのX,Yが1次元の量子井戸の固有関数になっているという事であって、最初から１次元だと思っていいという意味ではありません。


量子井戸の場合で自力で分からないのであれば、自由粒子の場合であればどうでしょうか。


１次元の自由粒子のシュレーディンガー方程式、固有エネルギー、固有関数を求める事はできますか？
２次元の自由粒子のシュレーディンガー方程式、固有エネルギー、固有関数を求める事はできますか？

２次元の自由粒子について固有関数をψ(x,y)=X(x)Y(y)と変数分離した時、
・X(x),Y(y)は１次元の自由粒子のシュレーディンガー方程式を満たす事
・X(x),Y(y)に対応する固有エネルギーをE_x,E_yとしたら、系全体のエネルギーがE=E_x+E_yと与えられる事
を確認する事はできますか？

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2019/02/02 11:45

問題文しか書かないのでは、貴方がどの程度理解しているのかが全く分からないのでどの程度の回答が必要なのか分かりませんが、

Q1に関しては波動関数をψ(x,y)=X(x)Y(y)と変数分離すれば、あとは１次元の量子井戸の問題を解くだけになります。

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2019/02/01 11:53

Q1の前にも問題文がありそうな気がしますが、まずは1次元の量子井戸のエネルギーと波動関数の求め方をお考えになるのがいいでしょう。