青チャート1Aより b=√6、c=√3-1、A=45°のときのa、B、Cを求めよという問題なのですが

青チャート1Aより
b=√6、c=√3-1、A=45°のときのa、B、Cを求めよという問題なのですが、

初めにa=2とだすまでは答えと同じなのですが、そのあとのBを求めるのに僕は正弦で求めて、解答は余弦で求めているのですが

正弦でもとめるとsinθ=2分の√3となりθ=60、120となるのですが

解答の余弦で求めてる方にはcosθ=-2分の1となり、θ=120、よってC=15°となってなます。

正弦と余弦で何故答えが違うのでしょうか？
正弦で求めた60°はどーなったのでしょうか教えてくださいお願いします

No.5 回答者： takoハ 回答日時： 2019/02/19 19:05

基本として、回答として合っているが、最後に

答えとして適かどうか検証する必要があるので、それが抜けている。

b,c,∠ Aが決まっているので、図形的に一つであるから、どちらかの角度は間違っていることになる。具体的には、
0＜θ＜180°において、cosθの値は一つしかないので、余弦定理なら、一つだが、
正弦定理なら 2つあるので、検証が必要になる。

第一余弦定理より
∠B=60°とすれば、∠C=180-45-60=75 °
cosB=cos60°=1/2
cosC=cos75°=cos(30+45)=cos30cos45ーsin30sin45=(√3/2ー1/2)/√2=(√3ー1)/(2√2)
∴ a=√6・cosC+(√3ー1)・cosB=√6・(√3ー1)/(2√2) +(√3ー1)/2
=(√3ー1)(√3+1)/2=1となり、a=2 と矛盾するから、不適となり、∠B=120°のみとなる！

No.4 回答者： tekcycle 回答日時： 2019/02/17 15:22

基本中の基本。

まず、可能な限り正確に図を描く。
実戦を意識するならフリーハンドで描く。
すると、aBCがおおよそどんな値になりそうかは判りそう。
それをせずに、公式や解法というブラックボックスに数字をぶち込んだら答えが出てくるでしょう、は拙い。例えば計算ミスに気付かない。

簡単な例で考えてみる。
判りやすい事例を具体的に挙げてみる、という手法は、数学で大事ですよ。
底辺がｓの60°60°60°という三角形を考える。
そこに、底辺が共通で、その対角が120°の二等辺三角形を考える。
この三角形の残りの角は何度か。
底辺の対角から底辺に垂線を降ろす。
底辺と垂線の角度は直角だから、この垂線が作る直角三角形の残りの角度も判るし、三辺の長さは出せる。
底辺がｓの60°60°60°の三角形は、当然正弦定理が成り立つ。
では、同じ底辺でその対角が120°の三角形では、正弦定理が成り立っているか。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/02/17 15:03

正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ( Rは△ABCの外接円の半径)より

a=2なら
2/sin45=√6/sinB
∴sinB=√6/２√2=√3/2まではOK
よってB=60,120とはなりますが、注意すべきは△ABCにおいて頂点の角度の大小と、辺の長短が対応するという事です。
つまり、c＜a＜bなら　C<A<Bなのです！
（2=√4<√6また、√3=1.73・・・は覚えておくべきでc=0.73・・・
だからc<a<bでC<A<Bです)
よってB=60°するとC=75°でC<A<Bに矛盾するのでこれは不適となります

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/02/17 14:35

>>何故答えが違うのでしょうか？

違ってはいないけどね。3角形なので0<θ<180°だから、sinθだと解が2個ある（第1,2象限)
cosθだと第1,2象限では解が1個。

θ=60の場合にCがどうなるかを計算して検算すればθ=60は捨てることになる。

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2019/02/17 14:27

まず、三角形なので0<θ<180°ですね

このとき、cosθは各値に対してθが一つに決まるのですが、sinは2つ持ちます(90±xで同じ値)
ですので、cosを使う方が安全です

たぶん正弦定理でa/sinA =b/sinBとしたと思います
このときcは使用されていませんよね？
ですので、θ=60°のときはcが√3-1から変わってしまっています(もっと長い)
（もしくは内角の和からはC = 75°となるが、正弦定理ではきっとC=15°、165°となります）

一応、b>a>cを利用したら正弦定理でもいけますが、余弦定理使うのが楽でしょう
(B +C=135°、b>cよりB>C
B+B=2B>135°からB=60°は棄却)