部分分数分解をして、積分したのですが、答えが合いません。よろしくお願いします。 答えは、2log(√

部分分数分解をして、積分したのですが、答えが合いません。よろしくお願いします。

答えは、2log(√x/√(x+1))です。

質問者からの補足コメント

• 部分分数分解はこのようにしました。

  
    補足日時：2019/05/12 10:58

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/12 18:39

そもそも、1/((√x+1)x) = A/(√x+1) + B/x が恒等的に成立するような定数 A,B が存在しません。

分母を払って 1 = Ax + B(√x+1) が恒等式になるかどうかを考えれば判ると思います。
x = 0, x =1 を代入して式が成立することは、その式が恒等式であることの必要条件にすぎません。
実際、1/((√x+1)x) = -1/(√x+1) + 1/x に x = 4 を代入してみれば、成立しないことが確認できます。
部分分数分解は、有理式を扱う技法です。1/((√x+1)x) は、x の有理式ではありません。

問題の被積分関数は、√x の有理式にはなっていますね。u = √x で置換してみてはどうでしょう。
du/dx = 1/(2√x) より S = ∫{1/((√x+1)x)}dx = ∫{1/((u+1)u^2)}(2u du) = 2∫{1/((u+1)u)}du
なので、u については部分分数分解で処理できます。 1/((u+1)u) = -1/(u+1) + 1/u より、
∫{1/((u+1)u)}du = - log|u+1| + log|u| + C = - log(u+1) + log u + C　(Cは定数) です。
u = √x ≧ 0 なので、絶対値は外せますね。
S = 2{ - log(√x+1) + log√x + C } = 2 log( √x/(√x+1) ) + D
= log( x/(√x+1)^2 ) + D　(Dは定数) です。

この回答へのお礼

なるほど！！わかりやすくありがとうございました。とても助かりました(*ˊᵕˋ*)

お礼日時：2019/05/12 18:43