１－1/2＋1/3－1/4＋1/5－1/6＋…＝log2となりますが、並び替えるだけで発散する？！

１－1/2＋1/3－1/4＋1/5－1/6＋…＝log2となりますが、

この数列を並び替えるとことによって全ての項を足し算にできます。

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＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)－２(1/2＋1/4＋1/6＋…)


＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)－(1＋1/2＋1/3＋…)


＝1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋1/8＋1/9＋…

となって無限級数となり発散してしまいます。これは不思議ではないですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/22 21:36

級数の収束には、絶対収束と条件収束の２種類があります。

絶対収束とは、各項の絶対値の和が収束するもので、
その場合、項を足す順番を変更しても和は同じになります。
条件収束とは、絶対収束ではない収束のことで、
その場合、項を足す順番を変更すると、和の値が変わったり
収束しなくなることもあります。

質問の 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + … の場合、
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + … が +∞ に発散
しますから、= log 2 は条件収束です。
((((((1 - 1/2) + 1/3) - 1/4) + 1/5) - 1/6) + … ) 以外の順番で
足してしまうと、和は log 2 になるとは限りません。
条件収束の足す順番を変えるトリックとしては、
(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + … = 0 ≠ 1 = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + …
なんかが、高校の教科書にも載ってたりして有名ですよね。

条件収束する級数では、
正の項だけ集めた和と負の項だけ集めた和がどちらも +∞ に発散します。
絶対収束する級数では、それらがどちらも収束しています。
これを利用して、条件収束する級数の項を足す順番を変えると
なんでも好きな数に収束する級数を作ることができます。

目的の極限を S としましょう。条件収束する級数 Σa_n の
正の項だけを順に足していって部分和が S より大きくなるまで続ける。
そのあと、負の項だけを順に足していって部分和が S より小さくなるまで続ける。
そのあとまた、正の項の残りから順に足していって部分和が S より大きくなるまで続ける。
これを正の項と負の項交代で繰り返せば、Σa_n の項を並べ替えて
S に条件収束する級数が作れます。 S は、なんでもかまいません。

この回答へのお礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます！

お礼日時：2019/12/15 15:51

No.1 回答者： tubad 回答日時： 2019/09/22 19:57

最後の式の出し方わからん。

0になると思った。