数学についてです。 曲面z=f(x,y)上の点P(a,b,f(a,b))を通る曲線z=f(x,b),

数学についてです。

曲面z=f(x,y)上の点P(a,b,f(a,b))を通る曲線z=f(x,b), z=f(a,y)の点Pにおける接線をそれぞれg,lとしたとき、
点Pを通ってg,lを含む接平面の法線の方程式が

(x-a)/fx(a,b)=(y-b)/fy(a,b)=(z-f(a,b))/-1

と表せることを証明してください。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/05 13:56

曲線 z=f(x,b) の位置ベクトルrは r=(x,b,f(x,b)) で、この接線ベクトルtxは tx=dr/dx=(1,0,fx(x,b))

となる。同様に
曲線 z=f(a,y) の位置ベクトルrは r=(a,y,f(a,y)) で、この接線ベクトルtyは ty=dr/dy=(0,1,fy(a,y))
この2つの曲線の(a,b)点の法線ベクトルは
tx×ty=(1,0,fx(a,b))×(0,1,fy(a,b))=(fx(a,b),fy(a,b),-1)・・・・・①

(a,b,f(a,b))点を通り、方向ベクトル(l,m,n)をもつ直線の式は
(x-a)/l=(y-b)/m=(z-f(a,b))/n

なので、①から
(x-a)fx(a,b)=(y-b)/fy(a,b)=(z-f(a,b))/-1

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2019/12/07 18:13

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/05 14:17

点P を通る z=f(x,y) の接平面は、

z - f(a,b) = fx(a,b)・(x-a) + fy(a,b)・(y-b) と書けます。
これは、接超平面の定義が関数の一次近似であることから従います。
式を見れば、この平面の法線ベクトルのひとつとして
( fx(a,b), fy(a,b), -1) がとれます。
一旦 fx(a,b)・x + fy(a,b)・y - z = fx(a,b)・a + fy(a,b)・b - f(a,b)
を経由したほうが解りよいでしょうか？
求める法線は、点P を通り、このベクトルを方向ベクトルとする直線
ですから、媒介変数 t を用いて
(x,y,z) = (a,b,c) + t(fx(a,b),fy(a,b),1) と表せます。
fx(a,b), fy(a,b) がどちらも 0 でなければ、式を変形して
t = (x-a)/fx(a,b) = (y-b)/fy(a,b) = (z-f(a,b))/-1 となります。

P における接平面の y=b による断面が直線 g、
x=a による断面が直線 l になることは、自明でしょう。
それとも、そのことを証明せよという問題なのでしょうか？

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2019/12/07 18:14