点と直線 ２

１,2直線x-4y+5=0,2x+y+1=0の交点を通る直線のうち、次のような直線の方程式を
　　求めよ。
（1）直線3x-2y+5=0に垂直

２,2直線（a+2)x+(a+3)y=10,6x+(2a-1)y=5について、次のような条件をみたす
　　aの値を求めよ。
(1)2直線は垂直である

３,次の3点が同一直線上にあるように、定数aの値を定めよ。
（1) (1,0),(a,-1),(-1,1)

４,次の直線に関して、点A(2,1)と対称な点の座標を求めよ。
（1)y=2x

５,次の点と直線の距離を求めよ。
（1) (0,0),3x-4y=10　

途中式もよろしくお願いします。　

No.3 ベストアンサー 回答者： taropoo 回答日時： 2001/08/05 20:49

１．

　　　　x - 4y + 5 = 0　　　　…(a)
　　　　2x + y + 1 = 0　　　　…(b)
(b)より
　　　　y = -2x - 1　　　　…(b)'
(b)'を(a)に代入して
　　　　x - 4(-2x - 1) + 5 = 0
　　　　x = 1　　　　…(c)
(c)を(b)'に代入して
　　　　y = -2 - 1 = -3
よって交点は(1, -3)。
直線 3x - 2y + 5 = 0 をyについて解くと
　　　　y = 3x/2 + 5/2
よってこれに垂直な直線は
　　　　y = -2x/3 + a　　　　…(d)
この直線が交点(1, -3)を通るためには、(d)に x = 1, y = -3 を代入して
　　　　-3 = -2/3 + a
　　　　a = -7/3
よって求める直線は(d)より
　　　　y = -2x/3 - 7/3
または両辺を３倍して移項して
　　　　 2x + 3y + 7 = 0

２．
一般に２直線
　　　　ax + by = e　　　　…(a)
　　　　cx + dy = f　　　　…(b)
があった時、この２直線が直交する条件を考えます。
(i)b≠0, d≠0のとき
２直線(a),(b)は次のように書きかえられます。
　　　　y = -ax/b + e/b　　　　…(a)'
　　　　y = -cx/d + f/d　　　　…(b)'
この２直線が直交するためには傾きの積が-1であれば良いので
　　　　(-a/b)(-c/d) = -1
　　　　ac + bd = 0　　　　…(c)
これが(i)の場合の、２直線(a),(b)が直交する条件となります。
(ii)b=0のとき
(a)より
　　　　ax = e
a=0だとe=0となって0=0となり直線で無くなるのでa≠0、よって
　　　　x = e/a
これはx=(一定)、すなわちy軸に平行な直線を表すので、
直線(a),(b)が直交するためには直線(b)がx軸に平行であれば良い。すなわち
　　　　c = 0
となればよい。

b = c = 0 は(c)をみたすので、(i),(ii)の場合分けに関係無く、直線(a),(b)が直交する条件は
　　　　ac + bd = 0　　　　…(c)
であることである。

これを使うと２直線
　　　　(a + 2)x + (a + 3)y = 10
　　　　6x + (2a - 1)y = 5
が直交するための条件は
　　　　6(a + 2) + (a + 3)(2a - 1) = 0
となる事である。これを解いて行くと
　　　　6(a + 2) + (a + 3)(2a - 1) = 2a^2 + 11a + 9
　　　　= (a + 1)(2a + 9) = 0
よって求めるaの条件は
　　　　a = -1, -9/2

３．
２点(a, b), (c, d)を通る直線の式は
　　　　(d - b)(x - a) = (c - a)(y - b)
であらわされます。（実際に(x, y)に(a, b), (c, d)を代入すると成り立つ事が分かります。）
よって２点(1, 0), (-1, 1)を通る直線の式は
　　　　x - 1 = -2y
　　　　x + 2y - 1 = 0
これが(a, -1)を通るためには x = a, y = -1 を代入して
　　　　a + 2(-1) -1 = 0
これを整理して求めるaの値は
　　　　a = -1

４．
直線 ax + by + c = 0 と点(x0, y0) との距離dは
　　　　d = |ax0 + by0 + c| / √(a^2 + b^2)
です（公式）。
それは置いておいてまず、直線
　　　　y = 2x
あるいは書きなおすと
　　　　2x - y = 0　　　　…(a)
に垂直で点(2, 1)を通る直線を求めましょう。傾きが-1/2で点(2, 1)を通るので
　　　　y - 1 = -(x - 2)/2
　　　　x + 2y - 4 = 0　　　　…　(b)
こうすると、求める点は直線(b)上にあり、直線(a)との距離が点(2, 1)のそれと同じ点という事になります。
直線(a)と点(2, 1)との距離dは上の公式より
　　　　d = |2*2 - 1*1| / √(2*2 + (-1)*(-1)) = 3 / √5
求める点の座標を(x0, y0)とするとこの点と直線(a)との距離は
　　　　|2x0 - y0| / √(2*2 + (-1)*(-1)) = d = 3 / √5
　　　　|2x0 - y0| = 3　　　　…(c)
点(x0, y0)は直線(b)上の点だから
　　　　x0 + 2y0 - 4 = 0　　　　…(d)
2x0 - y0 ≧ 0とすると
(c)は
　　　　2x0 - y0 = 3　　　　…(c)'
これと式(d)との連立１次方程式を解くと、(x0, y0) = (2, 1)となり、これは求めるものではない。
よって2x0 - y0 < 0 このとき(c)は
　　　　2x0 - y0 = -3　　　　…(c)''
これと(d)との連立１時方程式を解いて求める点は
　　　　(-2/5, 11/5)

５．
前問の公式より
　　　　| -10 | / √(3^2 + 4^2) = 10/5 = 2
よって求める距離は２


こんな感じで。
計算ミスあったらごめんなさい。

No.2 回答者： newtype 回答日時： 2001/08/05 10:47

なんかへんなふうに共役複素数の記号が出てしまいました。

正しくは、
＿＿＿＿＿
X+Yi/1+2i
というふうに右辺だけにつきます。

No.1 回答者： newtype 回答日時： 2001/08/05 10:38

x-4y+5+P(2x+y+1)=0は２直線の交点を通る直線の方程式である。

この式を変形して、
(1+2P)x+(-4+P)y+5+P=0…(1)
3x-2Y+5=0…(2)とすると
直線(1),(2)が垂直⇔(1),(2)の法線ベクトルが垂直
⇔(1),(2)の法線ベクトルの内積＝０
⇔(1+2P，-4+P)・(3，-2)=0
⇔3+6P+8-2P=0
⇔4P=-11
(1)式の両辺を４倍して
(4+2*4P)x+(-16+4P)y+20+4P=0
4P=-11を代入して
-18x-27y+9=0⇔2x+3y-1=0
以上

２，2(1)もおなじようにできる。
３，これくらいは自分でやりましょう。

４(1)は複素数を使うと一般化できる。
＿＿＿＿＿＿
x+yi/1+2i=(X+Yi/1+2i)（――――――は共役複素数をあらわす。）
としてX+Yi=～x+～yiと解けばできる。あとは(x,y)=(2,1)を代入して…。

５(1)は教科書を見ましょう。