すいません。色々調べてはみたのですが、皆目分からなくて困っています。
combin(n,k)とは、n個からk個とった組合せのことです。

命題
Σ(m≦n<∞)Σ(1≦k≦m-1)[n*(-1)^k*(m-k)^(n-1)*combin(m-1,m-k)]
と、
Σ(0≦k≦m-1)m/(m-k)
は同じ式である。

プログラムを組んで走らせるとm=50まではばっちり同じ値になります。
100近くになると前者はコンビネーションがある関係でエラーが出て比較できません・・・分かる方、よろしくおねがいします。
正しくない場合は反例をお願いします。

A 回答 (2件)

確かに難しいですね。


ちょっと考えてみたけどわかりませんでした。
誰か解いて!
ちなみに上の質問に書いてある式は
http://www.geocities.co.jp/CollegeLife/2898/siki …
にある最初の式と若干異なりますが、上の URL の最初の式の方が
正しいと思ってよいのですよね? あと、符号も逆かな?
数値的には1000位までやっても正しいですね。
あと、この恒等式が出て来た背景を教えて頂けたら嬉しいです。

この回答への補足

大変お手数おかけしてすみません。
おまけに符号のミスまで発見していただいてありがとうございます。
どうもテキストだと合ってるのかどうかが分からなくなってしまって・・・
ご指摘いただきましてありがとうございます。
そうですか、1000まで行けましたか!わざわざ調べていただいて本当にありがとうございます。
ちなみに当方は双方ともロータス1-2-3のマクロを組んで走らせたので、
あまり良くなかったのかもしれませんね。

背景を詳しく語ると素性がバレそうですが。…
まあ、バレてもいいです。この式の最も最初の形は、
「m種類のおまけのあるお菓子があり、どのおまけも等確率で現れ、
買うまでどのおまけが当たるかは分からない。
これが全部揃うまでに買わなければならないお菓子の個数の期待値を求めよ」
です。これを2通りの解法で考えた結果が上の2つの式でして、
さて全く異なる式になってしまったけど同じなのだろうか?というのがそもそもの疑問です。
ちなみに検索エンジンにひっかかるHPは多分私の・・・(笑)
あまり完全なお答えをいただいてしまうと今度は著作権の問題が
発生しそうなので、完全な回答よりもヒントに近い方がありがたいです。
こちらも、皆さんで知恵を絞りあいましょうみたいな感覚です。
だから皆目見当違いのことを書かれてもかまわないでしょうし、
また別解が見つかってもかまわないと思います。

今はちょっと本来の仕事が忙しくてまったく考える余裕が無いので、
こちらに挙げさせて頂きました。
全く急ぐことは無いのでのんびりいきましょう。
よろしくお願いします。

補足日時:2001/08/11 22:34
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Σ(m≦n<∞)Σ(1≦k≦m-1)[n*(-1)^k*(m-k)^(n-1)*combin(m-1,m-k)]


を(ざっくりと)
 Σ(m≦n<∞) n (x∂/∂x)^(n-1)Σ(1≦k≦m-1)combin(m-1,m-k)(-1)^k*x^(m-k)
 ~Σ(m≦n<∞) n (x∂/∂x)^(n-1) (x-1)^(m-1)
としてあとからx=1と置くような方向で考えてみているのですが、
ちょっと気になったので

 Σ(m≦n<∞) ってn=m~∞で和をとるという意味でしょうか?

だとすると、プログラムではどのように扱っているのでしょうか?
x∂/∂x=ξと置いて
 Σ(m≦n<∞) n (x∂/∂x)^(n-1) (x-1)^(m-1)
 =(∂/∂ξ)(1-ξ)^(-1) (x-1)^(m-1) (ξのm次より下の項を無視)
とかして計算したりするのでしょうか?(ごめんなさい、冗談です)

というわけで、答えられそうではありませんが、
興味があるので、失礼とは思いますが逆質問させてください。

この回答への補足

どの形の式を提示するのが最も良いのかそもそも悩んだのですが、
この変形後の式をテキストだけで表現しようと思ったらものすごく面倒だったので、見た目が一番すっきりするこの形を選びました。
この式をそのままプログラムにかけたら勿論無限ループで自殺行為です(笑)
やっぱり変形後の式を提示するべきでしたね。失礼しました。
kを固定して先にnを処理すると、考えればよいのはn*(m-k)^(n-1)の部分だけで後は定数という考えができます。
そもそも先にnを処理するのがヤバイ発想だったらここで突っ込んで欲しいのですが、可能ならば…
http://www.geocities.co.jp/CollegeLife/2898/siki …
あとはテキストでは表現できないなので、この画像をご覧ください。
私がプログラム組んだのは、この画像の一番最後の式です。
大変お手数おかけしますです。

補足日時:2001/08/06 00:45
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