星型図形の頂角

いわゆる星型の図形の頂角は頂点（ツノと勝手に呼んでいますが）の数でπを割ったものになると思いますが、これは周知の定理の変形で簡単に出てくるものでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： shkwta 回答日時： 2005/01/01 01:36

No.1に書いた証明は、「凸n角形（nは奇数）の各頂点を、(n-3)/2 個おきに線分で結んだ図形」に限られます。

文は長いですが、要するに「三角形の内角と外角の関係」を順に使って、頂点の角を１つの三角形に集めているだけのことです。また、頂点の数が偶数の場合は成立しません。n=3の場合は成立しますが、証明の式の途中が不必要になって、いきなり最後の文に行ってしまうだけのことです。

さて、もっと一般化して、「凸n角形（以下、輪郭と呼びます）の各頂点を、m個おきに線分で結んだ図形［ただし、0≦m≦(n-3)/2］」を考えます。
この場合、頂点の角の和は　(n-2m-2)π であることを証明します。


（１）まず、「輪郭が凸である」という性質を保ったまま頂点を動かしても、頂点の角の和が変化しないことを証明します。頂点ＡとＢ，ＢとＣが線分で結ばれているとします。このときの∠Ｂをθとします。頂点Ｂを外側に向かって動かした結果、∠Ａがξだけ増加し、∠Ｃがτだけ増加し、∠Ｂがθからφに変化したとします。このとき、三角形の内角と外角の関係から、ξ＋τ＋φ＝θ　となります。すなわち、移動前と移動後の、頂点の角の和は変化しません。
（２）したがって、頂点を適当に移動することで、すべての頂点を一つの円周上に乗せることができます。以下、すべての頂点は円周上にあるものとします。頂点ＡとＢ，ＢとＣが線分で結ばれているとします。円の中心をＯとするとき、∠ＡＯＣ　＝　２∠Ｂ　が成立します。その理由は、三角形の内角と外角の関係から、∠ＡＯＣ＝∠ＯＡＢ＋∠Ｂ＋∠ＢＣＯ。また、二等辺三角形の性質から、∠ＯＡＢ＝∠ＡＢＯ、∠ＯＢＣ＝∠ＢＣＯ　となるからです。
　以下、∠ＡＯＣを、∠Ｂの中心角と称します。
（３）上の場合、ＡとＢの間にある頂点はm個、ＢとＣの間にある頂点はm個ですから、ＡとＣの間にある頂点は (n-2m-3)個です。したがって、すべての頂点に対する中心角を合計すると、円周を(n-2m-2)回転することになりますので、中心角の和は 2(n-2m-2)π　です。頂点の角の和は（２）によってその半分となりますので、(n-2m-2)πです。（証明終わり）

No.1のケースは、m = (n-3)/2 に相当し、凸多角形そのものは m = 0 の場合に相当します。
三角形を２つ重ねた形の星形六角形なら、n=6, m=1です。

この回答へのお礼

学生時代に優秀な同級生に教えてもらった記憶が再現されたような感じです。これから勉強します。今年もよろしくお願い申し上げます。

お礼日時：2005/01/01 12:05

No.1 回答者： shkwta 回答日時： 2004/12/31 20:50

星形n角形だとして、各頂点を、一筆書きの順に点Ａ(0), Ａ(1),…,Ａ(n-1) とします。

点Ａ(0)と点Ａ(1)を結ぶ直線をＬとします。kを1≦k≦n-1の整数とします。
このとき、点Ａ(k)と点Ａ(k+1)を結ぶ直線と、Ｌとの交点をＢ(k)とします。
Ｂ(n-1)は、点Ａ(n-1)と点Ａ(0)を結ぶ直線と、Ｌとの交点とします。すなわち、
Ｂ(n-1)とＡ(0)は同じ点です。

星形なので、Ａ(k), Ｂ(k), Ａ(k+1)はこの順に一直線上にありますから、
∠Ａ(k)Ｂ(k)Ｂ(k-1)　＋　∠Ａ(k+1)Ｂ(k)Ｂ(k-1) ＝ 180° (1)

さて、三角形の３つの角の和は180°であることを、Ａk, Ｂk, Ｂk-1の三点を頂点とする三角形に当てはめると、つぎの式が成立します。
∠Ａ(k) 　＋　∠Ａ(k)Ｂ(k)Ｂ(k-1) ＋　∠Ａ(k)Ｂ(k-1)Ｂ(k)　＝ 180° (2)

星形なので、Ｂ(k)が、Ｂ(k-1)とＢ(k+1)の間に来ることはありません（一筆書きがＺ字型に進むことはありえません）。また、Ｂ(k),Ｂ(k+1),Ｂ(k-1)はすべてＬ上の点です。このことから、
∠Ａ(k+1)Ｂ(k)Ｂ(k+1)　＝ ∠Ａ(k+1)Ｂ(k)Ｂ(k-1) (3)

(1),(2),(3)より、
∠Ａ(k)Ｂ(k-1)Ｂ(k) ＋　 ∠Ａ(k)　＝　∠Ａ(k+1)Ｂ(k)Ｂ(k+1)　(4)

Ａ(1)とＢ(1)は同じ点です。また、Ａ(0), Ｂ(2), Ａ(1)はこの順に一直線上にあるので
∠Ａ(2)Ｂ(1)Ｂ(2)　＝　∠Ａ(1) (5)

したがって、k=2　から出発して k=n-3まで(4)を繰り返し適用すると
∠Ａ(0) ＋　∠Ａ(1)　＋ ∠Ａ(2)　＋ ・・・∠Ａ(n-2) ＋ ∠Ａ(n-1)
＝　∠Ａ(0) ＋　∠Ａ(n-1)Ｂ(n-2)Ｂ(n-1)　＋ ∠Ａ(n-1)
＝　∠Ａ(0) ＋　∠Ａ(n-1)Ｂ(n-2)Ａ(0)　＋　∠Ａ(n-1)

∠Ａ(0)　と　∠Ａ(n-1)Ｂ(n-2)Ａ(0)　と　∠Ａ(n-1)は三角形の３つの頂点の角ですから
和は180°になります。（証明終）

この回答への補足

ツノの概念を拡張して正３角形と円のツノの数をそれぞれ３と１とすることが可能であるように思えるのですが（頂角が、それぞれπ／３とπになると思います）これに対応してあなたの証明方法も拡張できるのでしょうか？

補足日時：2004/12/31 21:03

この回答へのお礼

早速どうもありがとうございました。私にはとてもかんたんとはおもえませんが、正月休みに勉強させていただきます。ツノの数が奇数の時と偶数の時で違うのかなとも思っています。

お礼日時：2004/12/31 21:02