No.3ベストアンサー
- 回答日時:
「座標変換はなぜわざわざX'=T(転置)Xと表すんでしょう」の意味がわかりませんので、適切な回答ができませんが(Tを転置しなければならないのなら、そもそものTは何なのでしょう)、演算子と座標変換との間には、密接な関係があります。
運動量演算子Pxから、exp(iaPx/h')という演算子を作ると(iは虚数単位、aはパラメータ、h'はプランク定数h/2π)、x方向へaだけ座標系を平行移動させる座標変換になります。同様に、角運動量演算子Mxから、exp(iθMx/h')という演算子を作ると、x軸の周りにθだけ座標系を回転させる座標変換になります。
exp(iaPx/h')を無限の多項式に展開すれば明らかなように、作用するのは演算子Pxであり、座標変換も演算子も同じように作用をします。
No.4
- 回答日時:
No1の補足。
(計算をトレースしてみてください。)V,Wをベクトル空間として、T:V→Wを線形変換としましょう。 T を座標変換であると思ってください。
V=Wでいいのですが、あえて記号を変えてみました。
v ∈ V のWにおける座標というのは、
x'_j = < w_j , Tv > = < T'w_j , v >
となります。ここで、w_j はWのj番目の基底ベクトルで、T'はTの転置です。
いま、変換Tを
T v_j = Σ_{k} t_{kj}w_k
としましょう。 v_jはVのj番目の基底ベクトル。
添え字に注意しましょう。なぜ、t_{kj}をt_{jk}と書かないかは教科書に載っているはずです。
すると、転置の定義から
x'_j = Σ_{k} t_{jk} < v_k , v > = Σ_{k} t_{jk}x_k
となります。
これを数ベクトルとして並べると、
X' = T' X
となります。
問題は解決しましたが、なぜ転置になるかというのにはさらに深い理由があります。
それは、どちらかというと幾何学とも関連したことです。
No1のキーワードを元に調べてみるとよいかもしれません。
この回答への補足
T v_j = Σ_{k} t_{kj}w_kは間違いではありませんか?T v_j = Σ_{k} t_{kj}v_kだと思うんですが。
補足日時:2005/01/29 10:50No.1
- 回答日時:
考え出すと難しい問題ですね。
答えは、座標(関数)は考えているベクトル空間 V の双対ベクトル(コベクトルとも言う)なので、
V が変換 T で変換されると、座標は T' (T' は T の転置)によって変換されてしまうのです。
詳しく説明したいのですが、理解の深度によるので、
まずは自ら調べてみることをお勧めします。
「双対ベクトル空間」、「双対ベクトル」とか、「コベクトル」とかというキーワードで検索したり、文献をあたるといいでしょう。
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