No.6
- 回答日時:
円周をC1、C1の半径をrとする。
C,DをC1上の点として、OP⊥CDとなるようにする。
このとき、CDはOを中心として半径OPの円C2に接している。
C,D以外のC1上の点Aを任意に選び、AとPを結んだ直線とC1の交点でAとは異なる点をBとする。
仮定からOPとABは垂直ではないので、ABはC2と点P及びPとは異なる点Qの2点で交わる。
ここで、OからABにおろした垂線はPQの垂直二等分線である。
故に、△OABの高さをhとすれば、h<OPである。
AB=2×root(r^2-h^2)、CD=2×root(r^2-OP^2)であるので、CD<AB
No.5
- 回答日時:
C,Dを円周上の点として、OP⊥CDとなるようにする。
このとき△OPDは直角三角形で直径をODとする円に内接している。
D以外の円周上の点Aについて△OPAはこの円から出る。
よって∠ODP>∠OAP
△OCD、△OBAが半径を等しい2辺とする2等辺三角形だから
∠COD<∠AOB
2辺が半径の2つの三角形は中心角が小さいほうが底辺が短くなる
よってCD<ABとなり、OP⊥ABとなるときが最短になる。
No.4
- 回答日時:
線分ABが最大になるのは、
線分ABが直径と一致する時であって、
線分ABが直径からずれるに従って
線分ABは小さくなる。
このことは、線分ABに対する角AOBがずれるに従って小さくなることから明らかである。
右回りに線分ABをずらしていく場合と
左回りに線分ABをずらしていく場合と対称であるから
線分ABが最小になるのは、右回りと左回りの転回点(点Pを通る直径に線分ABが直角に交わる時)で点PがABの中点になる時である。
No.2
- 回答日時:
OPと垂直なPを通る線分CDを考えると
△OAC∽△ODB
よって
OC:OB=OA:OD
これより
OB=(OC)^2/OA
相加平均と相乗平均の関係より
OA+OB=OA+(OC)^2/OA≧2√(OA+(OC)^2/OA)=2OC
よってOA=OB=OCのとき最小になるとおもいます。
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