No.1ベストアンサー
- 回答日時:
おっしゃるとおり,部分分数に分解して
(1) 1/D(D+3) = (1/3){ 1/D - 1/(D+3) }
として,それぞれの逆微分演算子を f(x) に作用させて,特殊解を
(2) y = (1/3) ∫f(x) dx - (1/3) exp(-3x) ∫exp(3x) f(x) dx
とすればOKです.
ラプラス変換による基礎づけあたりの議論からほとんど明らかですが,
気になるのでしたら,以下のように直接確認することもできます.
(2)の y に D(D+3) を作用させて f(x) に戻ることを示せばいいでしょう.
(3) (D+3) {(2)の右辺第1項} = (1/3) f(x) + ∫f(x) dx
(4) (D+3) {(2)の右辺第1項} = -(1/3) f(x)
です.(3)は直接計算.
(4)は,(2)の右辺第2項がもともと -(1/3) {1/(D+3)} f(x) ですから,
D+3 を作用させれば -(1/3) f(x) になることは明らかです.
(3)+(4) で
(5) (D+3) y = ∫f(x) dx
がわかりました.
これに D を作用させて
(6) D(D+3) y = f(x)
で,めでたく元にもどっています.
つまり,(2)ははじめの微分方程式を満たしています.
D(D+3) でなくて,(D+α)(D+β) などでも同様にできます.
この回答へのお礼
お礼日時:2001/08/20 00:24
な、なるほど!
うまく1/Dに持ち込み、積分の形にするのがポイントですね。
ありがとうございます。例題を解いてもう少し慣れてみます。
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