相対誤差の問題

面積 S の円を描くとき、S の相対誤差を 1 %以下にするためには、半径 r の相対誤差をおよそ何%以下にする必要があるか？
という問題で
ある解説書によると

>半径をrとすると円の面積はπr^2となる。相対誤差とは真の値と絶対誤差との
>比のこと。半径の誤差λrとすると、相対誤差はλS/Sで表されて、
>
>λS/S=π(r+λr)^2-πr^2/πr^2
>
>となる。この問題では相対誤差は1％以下なので
>
>π(r+λr)^2-πr^2/πr^2≦0.01
>という式が成り立つ。この式を解くと
>
>2λr/r≦0.01
>λr/r≦0.05
>となる

と解説してあったのですが
π(r+λr)^2-πr^2/πr^2≦0.01を解いて
2λr/r≦0.01になる仕組みが分かりません。
λ(2+λ)≦0.01になってしまうのですが…
どなたかお分かりになる方、お教え頂けないでしょうか？
ちなみに^2は２乗という意味で使っています。

No.1 回答者： HitomiKurose 回答日時： 2001/08/21 11:36

まず１点注意。

λrはひとつの数（λとrの積ではない）です。λr/rは約せません。
{π(r+λr)^2-πr^2}/(πr^2)=2λr/r-(λr/r)^2
ですが、(λr/r)^2は大変小さいので0とみて
2λr/r≦0.01
としています。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
正直λrはλとrの積だと思ってました。
本当にありがとうございます。

お礼日時：2001/08/21 13:25

No.2 ベストアンサー 回答者： supertomochan 回答日時： 2001/08/21 11:46

私も最初、「λ(2+λ)≦0.01」になるとおもったのですが、

これは大きな誤りですね。
なぜなら、誤差「λr」は「λ×r」ではなく、一つの変数だからです。

つまり、上式の左辺は、
(π(r+λr)^2-πr^2)/πr^2
=(2r*λr+(λr)^2)/r^2
のようになると思います。
ここで、「(λr)^2/r^2」は充分小さな値として、
無視されているのではないでしょうか？

即ち、上式は、
=2r*λr/r^2=2λr/r
となります。

この回答へのお礼

さっそく回答ありがとうございます。
λrは変数なんですね。
確かにそう考えれば納得できます。
てっきり「λ×r」だと勘違いして考えてました。
本当にありがとうございます。

お礼日時：2001/08/21 13:23