0<|x-1|<δのとき|x^2-1|<ΕとなるδをΕで表せ。
という問題なのですが、この問題が何を言っているのかすらよくわからないです。
ご教示お願いします。

A 回答 (2件)

グラフで考えます。


横軸にx、縦軸にyをとり、y=x^2 - 1 のグラフ(ア)を描きます。
x軸の上下両側に、-E<y<E の範囲をとり、この中に含まれるグラフ(ア)の部分(イ)を考えます。
x=1を中心として、左右両側に 1-δ<x<1+δの範囲を考え、この範囲が(イ)を全部含むのに必要な最小のδを求めます。 
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この回答へのお礼

2回も回答していただきありがとうございます。
No.1のほうの解き方は正直僕にはまだ難しくてよくわかりませんがNo.2の解き方でやってみたところ解けました!
ありがとうございます!

お礼日時:2005/02/26 14:02

文字通りであれば、正確にはこういう意味だと思います。


『正の実数Eについて、「任意のxにつき 0<|x-1|<γ⇒|x^2-1|<E 」 が成立する正の実数γの集合をG(E)とする。G(E)の最大の元をδとするとき、δをEで表せ。』

xは実数とします(複素数でも同じようにできますが、少し複雑です)

0<|x-1|<γ⇔1-γ<x<1+γ です。

μ<γとなる任意の正の実数μ,γについて、つぎの3つの不等式が成立します。
-{(1-μ)^2 - 1} = 2μ-μ^2 < 2γ+γ^2 = (1+γ)^2 - 1 = |(1+γ)^2 - 1|
{(1-μ)^2 - 1} = -2μ+μ^2 < 2γ+γ^2 = (1+γ)^2 - 1 = |(1+γ)^2 - 1|
{(1+μ)^2 - 1} = 2μ+μ^2 < 2γ+γ^2 = (1+γ)^2 - 1 = |(1+γ)^2 - 1|

したがって、1-γ<x<1+γとなる任意のxについて
|x^2 - 1|<|(1+γ)^2 - 1| (ア)

|(1+γ)^2 - 1|≦E を満たすγは、(ア)によりG(E)の元になります。ここで、
|(1+δ)^2 - 1|=E となるδを考えます。任意の正の実数εについて、
|(1+δ+ε)^2 - 1|>E となるので、δ+εはG(E)に含まれません。よって、δはG(E)の最大の元です。ここから、δをEで表わすのは容易でしょう。
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