確率 ABC三つの箱のうち一つに当たり

何年か前に数学おもしろ本でこんな問題を見つけ、「なるほど面白いな」と思ったのですが、今、その答えの理由をうまく説明できません。

この問題、答えはわかっています。その理由をおしえて欲しいのです。

●ＡＢＣ三つの箱があり、一つに「当たり」が入っている。
今、わたし（太郎）はそのうちの一つＡを選んだ。
全てを知っている花子はこう言う。
「Ｃには当たりは入っていません。さて、太郎さん、今からあなたは選び直してもかまいません。どうしますか？」
で、答えは、『Ｂに選び直す』で正解。

花子は太郎に対して、当たって欲しい、欲しくないなど何の意図もありません。

「当たり」を引く確率としては、Ｂに選び直すことが数学的に正解であると、当時その本を読んで納得したわたしですが、、今その理由を思い出せません。

どうか、納得のいく説明をお願いします。

または、この問題が載っている本をご存じの方、その本をおしえてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ysk26 回答日時： 2005/03/01 20:26

私も初めて聞いたときはすっかりだまされた一人です。

書くと長くなりますし、わかりやすく説明できる自信もありませんので…
「モンティ・ホール・ジレンマ」で検索すれば解説がいっぱい出てきますよ。

この回答へのお礼

こ・これは‥‥数学界では有名な話だったんですね。
「モンティ・ホール・ジレンマ」という名称までついていたとは‥‥。

回答ありがとうございます。

お礼日時：2005/03/01 20:43

No.8 回答者： dollar 回答日時： 2005/03/04 12:57

非常に感覚的な話をします。

全く証明にはなっていませんので注意して下さい。

問題では３つの箱でしたが、ここではあえて１万個の箱だとします。当たりは１個だけ。他の９９９９個は全てハズレです。この中から１つだけ選ぶ権利をあなたは与えられました。
やる気なくしますよねえ・・・。
当たる訳ないじゃないですか。
あなたは仕方ないので一番目の箱を選びました。「どうせ当たる訳ないから一番目の箱でいいや」と既に当てる気ゼロです。
さて、ここで当たりがどこにあるかを知っている司会者が「ここで大ヒントを差し上げましょう。これらの箱は空っぽです！」と言って、２番目の箱・３番目の箱・４番目の箱・・・と次々開けて行きます。
司会者は１８６７個目の箱だけを残して他を全て開けてしまいました。もちろん全部空っぽです。
司会者は「さあ、今からなら変えられます。一番目の箱にしますか？　それとも１８６７個目の箱にしますか？」と聞いてきました。
あなたは最初の自分の勘を信じ、最初に選んだ箱のままで通しますか？
それとも何だか作為的に残された感じのする１８６７番目の箱のほうを選びなおしますか？
結論は明白ですよね？
もう１つの箱は「答えが知っている人間が作為的に残した当たり箱である」可能性が極めて高いのです。
極端な例でしたが、箱が３つしかない場合も同じ話です。

この回答へのお礼

なるほど。よくわかります。

が、どうして「作為的」という概念を出されたのか理解できません。
「作為」があったら、話は別のところに行ってしまうような気がするのですが‥‥。

回答ありがとうございます。

お礼日時：2005/03/04 20:29

No.7 回答者： Naoki_M 回答日時： 2005/03/04 00:51

＃４です。

数学的に正確な解答を書こうとしたらややこしくなってしまいました。今回は一般の場合でも成り立つような解答を書いたのですが、さらに読みにくい文章になってしまいました。すみません。数学の記号をそのまま文章にしたので読みにくくなっています。

BとCの箱をまとめて考える解き方は、一見シンプルに見えますが，実は数学的には正しくない解き方です。この問題の場合はたまたま正解になりますが、一般の場合には必ずしも正しくなりません。理由は、(花子さんがはずれの箱を示す前にAが当たりである確率)は、(花子さんがCが当たりでないと言った後にAが当たりである確率)とは必ずしも等しくないからです。

＃５さんの解も、残念ながら不正解です。ちなみに、この問題は新課程では数学Cの範囲の問題です。説明の内容については、私は特にわかりにくいところはありませんでした。間違っているのは、箱を換える確率は1/2という部分です。数学の教科書などで、場合分けをしているときの計算を確認してみてください。また、どちらかの箱には必ず当たりが入っているのですから、箱を換えない時の確率＋箱を換えた時の確率＝１　とならなければいけません。確率の問題に限らず、問題を解いた後に検算する習慣をつけておくと、ミスが防げるのでよいと思います。

一般の場合に成り立たないことの説明です。以下のように問題を変えてみます。
・A,B,Cの箱に当たりが入っている確率はそれぞれ1/3,1/6,1/2。
・花子さんは太郎が選んでいない箱のうちはずれのほうを教える。太郎が当たりを選んだ場合は、花子さんは1/2の確率で太郎が選ばなかった箱を選ぶ。
・太郎がＡを選んだあと、花子は「Ｃには当たりは入っていません。さて、太郎さん、今からあなたは選び直してもかまいません。どうしますか？」と言った。太郎はどうすればいいか。

誤答
Aが当たりである確率は1/3、Bが当たりである確率は2/3だからBに選び直した方がよい。

正解
Aが当たりである確率は1/2、Bが当たりである確率は1/2だから、どちらの箱を選んでもよい。

証明
条件付き確率の定義より、P(Y|X)=P(X∩Y)/P(X)。

Xを「花子さんがCが当たりでないという」、Yを「Aが当たりである」とすると、
(「花子さんがCが当たりでないといった」という条件のもとでAが当たりである確率)=(Aが当たりであり、かつ、花子さんはCが当たりでないという確率)/(花子さんがCが当たりでないという確率)。

ここで、
Aが当たりであり、花子さんはCが当たりでないという確率は (1/3)*(1/2)=1/6。
Bが当たりであり、花子さんはCが当たりでないという確率は(1/6)*1=1/6。

したがって、
「花子さんがCが当たりでないといった」という条件のもとでAが当たりである確率は (1/6)/{(1/6)+(1/6)}=1/2。
「花子さんがCが当たりでないといった」という条件のもとでBが当たりである確率は 1-1/2=1/2。
Q.E.D.

条件つき確率の問題は、定義通りに計算すれば正確な答えが出ます。ベイズの定理というものもあります。他にややこしい確率の問題として、サーベロニの問題やベルトランの逆理などがあります。この手の問題がお好きな方には、レイモンド・スマリヤンのパズルの本をおすすめします（ただしモンティ・ホール・ジレンマは載っているかどうかわかりません）。

参考URL：http://d.hatena.ne.jp/NATROM/20050213

この回答へのお礼

３０年来の文化系人間です。

今や「数学」で用いられるお約束としての「記号」はほとんど理解できません。「*」が何なのかわからないのです。まして「Ｐ」とは？
で、この回答で、結論はどうなっているのか理解できません。

すみません。

詳しい回答ありがとうございます。

お礼日時：2005/03/04 20:27

No.6 回答者： gamasan 回答日時： 2005/03/03 20:43

皆さんややこしいことを書いていますね

単に最初からＡを選んで当たる確率は1/3
花子さんが残りから外れのＣを教える
残りのＢには　最初にＡと選んだ残りの確率2/3
当たりの可能性がある　だから選びなおした方が
当たる可能性は高い

花子さんから外れを聞いた時点でＡかＢどちらかだから
確率は５割じゃないか　と錯覚するという話ですよね

この回答へのお礼

なるほど。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2005/03/04 20:18

No.5 回答者： chiropy 回答日時： 2005/03/02 18:38

始めにあたりの箱を選んでいる確立は　1/3

この時箱を換えた時⇒外れ
箱を変えない時　　⇒当たり

始めに外れの箱を選んでいる確立は　2/3
この時箱を換えた時⇒当たり
箱を換えない時　　⇒外れ

ここまではいいと思います。ここで箱を換える確立は1/2です。（換えるか、換えないか）上の説明から箱を換えた時とそうでない時のあたりの確立を求める。

箱を換えない時
　1/3×1/2＋2/3×1/2×０＝1/6
箱を換えた時
　1/3×1/2×０＋2/3×1/2＝2/6

※０を掛けたのは、外れを選んだから。

より箱を換えた時の方がか換えない時よりも二倍も当たる確立が高い。だから箱を換える。

現在高１で説明（文章）が下手で、分かりにくいとは思いますが如何でしょうか？わからない所は聞いて下さい。

この回答へのお礼

わかりました。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2005/03/04 20:15

No.4 回答者： Naoki_M 回答日時： 2005/03/01 21:34

本は知らないのですが、Webで検索してもいろいろ出てきますよ。

数学教授も間違ったという曰く付きの問題で、有名らしいです。私は参考URLでこの問題を知りました。ここの変形３ドア問題も面白いです。こちらは＃３さんの方法だと正しく解答できません。

問題文には書かれていませんが、次の条件も成り立っているとすると以下のような解答になります。

条件
・それぞれの箱が当たる確率は1/3ずつ。
・花子さんは太郎が選んでいない箱のうちはずれのほうを教える。太郎が当たりを選んだ場合は、花子さんは1/2の確率で太郎が選ばなかった箱を選ぶ。

解答
Aを選んだ場合、花子さんが取り得る行動は４通りあります。
(1) Aが当たりで、花子さんはBが当たりでないという......確率は (1/3)*(1/2)=1/6
(2) Aが当たりで、花子さんはCが当たりでないという......確率は (1/3)*(1/2)=1/6
(3) Bが当たりで、花子さんはCが当たりでないという......確率は(1/3)*1=1/3
(4) Cが当たりで、花子さんはBが当たりでないという......確率は(1/3)*1=1/3

花子さんはCが当たりでないといったので、(2)か(3)のどちらかです。
Aが当たりである確率は (1/6)/{(1/6)+(1/3)}=1/3
Bが当たりである確率は (1/3)/{(1/6)+(1/3)}=2/3

Aが当たりの確率よりもBが当たりの確率のほうが高いのでBに選び直した方がいいです。

参考URL：http://d.hatena.ne.jp/NATROM/20050202#p1

この回答へのお礼

ご指摘の「条件」の通りです。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2005/03/04 20:14

No.3 回答者： noname#10563 回答日時： 2005/03/01 20:38

花子さんのセリフを変えると分かるかな？

太郎さんがＡを選んだあとで・・・

「Ａにあたりが入っている」
「ＢかＣにあたりが入っている」
どっちか好きなほうを選んで良いですよ。
もし「ＢかＣ」を選ぶなら，私ははずれのほうを
教えてあげます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞もし「ＢかＣ」を選ぶなら，私ははずれのほうを
教えてあげます。

この意味がわかりません。 (^^;)

お礼日時：2005/03/01 21:10

No.2 回答者： omoidasu 回答日時： 2005/03/01 20:28

三浦俊彦の「論理パラドクス」に同様の問題があったと記憶しています。

花子さんは太郎が選んでいない箱のどちらかはずれのほうを教えるルールになっていたと思います。

つまり、もしAが当たりなら、「Bがはずれ」「Cがはずれ」と言う確率は半々
もしBが当たりなら、100％「Cがはずれ」と言う。

だから、Bが当たりの確率のほうが高い。

詳しくは前掲書を

この回答へのお礼

「論理パラドックス」、この本は読んだことがありませんでした。今度捜して読んでみたいと思います。

回答ありがとうございます。

お礼日時：2005/03/01 21:03