曲率の求め方

２次元で、３点（X1,Y1）, (X2,Y2), (X3,Y3) が既知のとき、
これらの点を通る円の曲率の求め方を教えて頂けないでしょうか？また、３次元で４点がわかっている時の求め方も教えて頂けないでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： sakura_214 回答日時： 2005/04/20 05:18

２次元の場合の曲率ρは，３点A(X1,Y1),B(X2,Y2),C(X3,Y3)で作られる三角形の外接円の半径Rの逆数を求めればいいので，正弦定理より，

ρ＝1/R＝2sinA/|BC|
を利用して求めるといいでしょう．ここでsinAの値を求めるにはいくつかやり方があるかと思いますが，ここでは簡単に２次元ベクトルの外積を利用して，
|AB↑×AC↑|＝|AB||AC|sinA
から求めてみます．左辺は
AB↑×AC↑＝(OB↑-OA↑)×(OC↑-OA↑)＝OA↑×OB↑+OB↑×OC↑+OC↑×OA↑
と変形できますので，曲率ρは，
ρ＝2|AB↑×AC↑|/|AB||AC||BC|＝2|OA↑×OB↑+OB↑×OC↑+OC↑×OA↑|/|AB||BC||CA|
と表すことができます．ここで具体的に座標の値を入れてあげると，
OA↑×OB↑＝X1Y2-X2Y1
|AB|＝√((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2)
より，最終的に
ρ＝2|X1Y2-X2Y1+X2Y3-X3Y2+X3Y1-X1Y3|/√[((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2)((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2)((X3-X1)^2+(Y3-Y1)^2)]
となります．

３次元になると，一般化の計算は何か上手い方法を見つけないと大変でしょうね．^^

No.3 回答者： springside 回答日時： 2005/04/19 17:33

No.1です。

辺々引くことによって２乗の項が消えますので、そんなに大変ではないと思いますが。（辺々引くことによって２乗の項を消すのが、シンプルにするテクニックと言えるのかも知れません。）

例：３点が、(1,2),(3,7),(5,4)のとき

(1-p)^2+(2-q)^2=r^2…(1)
(3-p)^2+(7-q)^2=r^2…(2)
(5-p)^2+(4-q)^2=r^2…(3)

(1)→p^2-2p+q^2-4q+5=r^2……(4)
(2)→p^2-6p+q^2-14q+58=r^2…(5)
(3)→p^2-10p+q^2-8q+41=r^2…(6)

(4)-(5)より、4p+10q-53=0…(7)
(5)-(6)より、4p-6q+17=0……(8)

(7)-(8)より、16q-70=0
よって、q=35/8
（以下、例えば(7)によりpを求め、次に例えば(4)によりrを求めればよい。そして、1/rが曲率。）

No.2 回答者： acacia7 回答日時： 2005/04/19 15:27

ベクトルで計算してみては？

最初の3点をp1,p2,p3とするならば、
p1,p2の中点をm1、p2,p3の中点をm2とし、
中点m1,m2を通り、
そのベクトル→p1p2 →p2p3に垂直な線上に円の中心があります。
よって二つの直線の交点に円の中心点が存在します。


同様に三次元空間では二点の中点を通る二点のベクトルを法線とする面上に球面の中心がありますので、平行でない３つの面から中心点を求めることができます。

No.1 回答者： springside 回答日時： 2005/04/19 14:57

円の曲率ですか？

円の曲率は半径の逆数ですので、要するにその３点を通る円の半径が判ればいいです。

例えば、円の方程式を(x-p)^2+(y-q)^2=r^2とでも置いて（中心が(p,q)、半径がrということ）、xとyにそれぞれ(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3)を代入して、p,q,rの連立方程式を解けばよいのでは。

この回答への補足

その方法でやったのですが、検算しても、どうも間違っているようです。なにか、計算をシンプルにするようなテクニックなどはありますか？
また、３次元の曲面に適用する際も単純な方法だと計算がかなり大変です。。。何か良い方法、アドバイスお願いできないでしょうか？

補足日時：2005/04/19 15:06