はしごが倒れる先端の速度

これは私の実生活から興味が出た疑問です。ある長さの均一な質量のはしごの上に軽い人が乗っていて、ほぼ垂直に立てかけてある。地震で傾き始め、９０度回転して人が地上に落ちた。そのときの速度を求めます。はしごの長さは計算がしやすく、答えが整数に近い、５メートル前後を入れてください。なお私は、はしごが軽い場合は、はしごなしに鉛直に落ちる早さだと知っています。なお、はしごの長さ、はしごと人の重さの比などで簡単にもとめられたらそれも教えてください。

No.10 ベストアンサー 回答者： Teleskope 回答日時： 2005/04/24 20:51

　

　
　あー、すみません、
（チェックしたら大きな√の式までは合ってました。）

人間が乗ってない m=0 の場合は 分数が 3/2 になって
　　V = √(2gL)・√1.5 = 人間の自由落下の 1.23倍

人間60kgはしご10kg なら分数は (60+10/2)/(60+10/3)=1.0263 になって
　　V = √(2gL)・√(1.0263) = 人間の自由落下の 1.013倍 = 1%増し。

でした。


　この式も右辺に L が抜けてました。
　　E = g(m+M)X = g(m+M/2)L

　どうも失礼しました。
　
　

この回答への補足

私の直感がはしごだけなら先端が自由落下より早いというイメージがわいてきました。早くはしごから手を離すほうが少しでも怪我が少ないという様に思えてきました。５日ほど前までははしごは回転するから先端は遅くなると思ってました。

補足日時：2005/04/24 22:11

この回答へのお礼

はしごだけで考えて、摩擦のない地表に立っていた場合など考えると、面白さが尽きなくなったが、表現が難しいし一休みする。ありがとう。

お礼日時：2005/05/02 00:08

No.9 回答者： Teleskope 回答日時： 2005/04/23 23:03

　

　
　余談；　倒れるまでの時間

　垂直な棒が傾き始める当初、運動は横向きですから、重力のそっち向き成分は とても小さく、初期加速はとても小さい。　最初が完全に垂直なら 無限大の時間がかかります。（ホウキを逆さに指に立てる遊びですね。）

　はしごのような長さLの棒の慣性モーメントは、回転中心が重心なら (1/12)ML^2、端なら それ+M(L/2)^2=(1/3)ML^2 です。これを I と書きます。

回転運動の運動方程式は、
　　T＋I(d2θ/dθ2) = 0　　Tはトルク、シータは回転角度
θを真下から測ると、重力の回転方向成分は Mgsinθ です(*)。
トルクは 腕の長さ×力　だから、
　　(L/2)Mg sinθ＋I(d2θ/dθ2) = 0
で、LもMもgもIも みんな定数だから、まとめて整理したものを A と書きます。

　　(d2θ/dθ2)＋Asinθ = 0

これは振幅θがとても小さいときは sinθ≒θ として解けますが、真上≒180度＝π と大きな場合は残念ですが解けません。普通は数値計算です。（古い数学の本なら後ろに「楕円積分の数表」が載っていますね。）

(*)：sinθ≦1だから、１より小さいものが掛かるくらいなら、真っ直ぐ自由落下したほうが早そうだと想像がつきますね。



一番下に角度と共に急増する図があります。垂直なら無限大です。
http://www.ne.jp/asahi/tokyo/nkgw/gakusyu/rikiga …

4ページ。「数値計算しなさい」と課題にされてます。
http://ayapin.film.s.dendai.ac.jp/~matuda/TeX/PD …

　
　

この回答へのお礼

だんだん自分のものになり、リアルに想像できたきた。倒れるのに気づいたら、大急ぎで、はしごを降りることだな。

お礼日時：2005/05/02 00:11

No.8 回答者： Teleskope 回答日時： 2005/04/23 22:56

　

　
１．
　高さL（はしご先端）から自由落下での着地速度 v は
　　v = √(2gL)



2.
　はしご（質量M）と先端の人（質量m）が 一体で横転；

　　　　　　　　　　　　一体の重心
　　　　　　　　　　M　　　↓　　　 m
下端━━━━━●━━━━━● 先端
　　　├─L/2─→
　　　├──── X ─→
　　　├───── 全長 L ─→

重心位置 X は、重心のまわりの（質量×距離）の合計=0より、
　　M(L/2-X)＋m(L-X) = 0
より、
　　X = L(m+M/2)/(m+M)


　高さ X 質量 m+M の位置エネルギは
　　E = g(m+M)X = g(m+M/2)


　一体となった状態の 慣性モーメント I は

　　I = (はしご重心まわりのI)＋(下端を支点とした質点MのI)＋(下端を支点とした質点mのI)

です。（これの説明は省きますが必要なら補足請求してください。）

　　I = (1/12)ML^2＋M(L/2)^2＋mL^2
　　　= (m+M/3)L^2


　回転運動のエネルギー E=(1/2)Iω^2 よりω= √(2E/I)、はしご先端の速度 V は
　　V =ωL = L√(2E/I)
　　　= L√( 2g(m+M/2)L /((m+M/3)L^2) )
　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　/　　　 m＋M/2
　　　＝　/　2gL ────
　　　　 Ｖ　　　　　m＋M/3

試算；
はしごが超軽ければ V = √(2gL) = 自由落下の式と同じ。
人間が乗ってなければ V = √(gL/3) = 自由落下の0.82倍
人間60kgはしご10kg なら V = 自由落下の1%増し。
　
　

この回答への補足

わかりやすく表現していただいた式をありがとうございます。（私には難しいですが）疑問。あなたの間違いでないかと思うのですが、最後の行は1と0.8の間にならないのですか。また、大きなルートの中は、M/2割るM/3は１より大きくなりどこか間違えているように思います。よろしくお願いします。

補足日時：2005/04/24 09:19

この回答へのお礼

この一連の回答を受けて、はしごの先端の地上付近での落下は、自由落下より早いと納得した。これは驚きであった。

お礼日時：2005/05/02 00:13

No.7 回答者： tokotasi 回答日時： 2005/04/23 17:34

やっと自分の中で解決しました！

No.3の方の式の中で、はしごの運動エネルギーが1/6mv^2であるという
部分だけ、「そういう公式があるんだろうなあ」というふうに思考を
飛ばしていたのですが、棒を微小単位に分割して足し合わせて
極限を取って、自力で1/6mv^2という数字が導き出せました。
(物理は高校までの分しか覚えていなかったので・・・)

質量が均一に分布している棒だとこういう式になるみたいです。

この慣性モーメントの部分だけ大学レベルで、そのほかは中学レベルの
知識で理解できると思います。

ちなみにこれはもちろんはしごの先端と人が一体化しているという
前提の話ですね。

> 単純落下は、v=２gLでしたね。

と言われていますが、単純落下もv=√２gLですよ♪
(1/2Mv^2=MgLを解くとそうなります。)

この回答への補足

うっかりしてた。左辺がv＾２であることを忘れてた。やはりはしごが十分に軽いと単純落下と同じスピードになるのですね。そうかな。別件、何かの本で回転の慣性が色々な形についてのっていたように思うが使い方がわからなくて。自動車でアルミホイルの方が回転させる慣性が少ないから加速がいいとかいってたが、タイヤに比べて軽いからどうてことないと思ってた。窒素充填タイヤは効果があるのかなあ。ともあれ自分で算出できておめでとう。）話を戻して、地上で同じスピードならはしごにつかまって真下に落ちるのと、はしごから離れて左下方向に落ちるのと。方向が違っても速度が同じのかなあ。はしごは人の自由落下より速くなろうとしても、人を中心へ（右）引っ張るためにエネルギーを使ってはしごが遅くなり、と書いても、軽いはしごには人を引っ張るエネルギーがない。ああ、大地に固定されてるところがはしごを使って人を引っ張るのだ。軽いはしごの大地側がしかｋり固定されてなく、人がはしごにつかまっていると、水平近くになると、はしごの根元が原点を離れて左へよるのだな。文章ではよみにくいでしょうから、この分で気になるところがあればお返事下さい。しかしこのことについてはしばらく休んで考えようと思ってますが、一応面白いですね。

補足日時：2005/04/23 19:13

No.6 回答者： guuman 回答日時： 2005/04/23 13:53

なるほど、はじめは、人も横に動かねばならないから、なかなか落ちられないわけですね。

はしごが左へ倒れていくとすると、途中からはしごはグット下に向かい、人は左へ行く慣性で、はしごの先端より左へ行くから人より、より速く下へはしごが行き、両者は離れてしまうという解釈でよろしいでしょうか。：

とにかく人間がはしごをしっかり捕まえていて人とはしごが一体化しているときにはすごく単純でＮｏ．１のやり方で求めれば決着です

はしごに人が乗っかっていて摩擦ではしごが水平方向にははしごからずれない場合であっても途中からはしごの下向きへの加速度が人の下向きへの加速度を上回ってしまいはしごが人を空中に置き去りにして先に地面に落ちるのです

はしごに人が乗っかっていてはしごと人の間に摩擦が全くないときにははしごは勝手に回転運動で倒れ人は直下に自由落下するだけです
この場合両者は独立に運動します

この回答への補足

怪我を最小にするには、はしごにつかまっててはだめなんですね。はしごが人から離れ始めたときに、はしごをけってすこしでも落下の速度を減らせばいいわけですね。念のため再度ご回答を下さい。いや、できるだけ速くはしごを一歩一歩下るのがよいのかな。人は普通はしごのてっぺんに乗ってないですね。ここらも加味してあなたのかんがえを聞かせてください。

補足日時：2005/04/23 19:06

No.5 回答者： tokotasi 回答日時： 2005/04/23 12:05

No.3の方がちゃんと計算されているので、私のやり方と同じに

なるかなあと答え合わせをやってみたら、合わないですね＞＜

どこにまやかしがあるのか考えてみたのですが、

> ↑これが、地上位置での重心のスピードになるはず。

この部分みたいです。

位置エネルギーが運動エネルギーに変換されているわけですが、
そのすべてが重心移動の運動エネルギーとして表現できるという
前提がどうもちがうみたいです。

例えば重心を中心に高速回転するはしごがあった場合、重心位置の
速度は0なのに、はしごとしての運動エネルギーはかなりあるという
状態にもなりますもんね。

回転がからむと、運動を単純に重心で代表させるというのはできない
みたいですね。残念！

No.3の方の式だと、はしごの運動エネルギーは
1/6mv^2
となっているのですが、はしごが重心1点に質量が集中していると考えると
1/8mv^2(速度がv/2なので)
になるので、この差がはしごを点と見るか棒と見るかのちがいに
なっていると思うのですが、これだけ違いがあれば、人も点として
扱うとけっこう誤差が出てきそうですね。

こういうの考えるのって楽しいですね♪

この回答への補足

私も２番は間違いと思ったのです。２番は土地が急陥没して瞬間に土地がなくなったとき、重心の位置が陥没前の位置まで落ちるときの時間と単純な速度を元に相似の比を掛けて、はしごの先端の早さに換算したにすぎないと思います。かといって、正しい答えを自分で出したり、ほかの人のを納得したりする、自信はまだありません。

補足日時：2005/04/23 12:23

No.4 回答者： guuman 回答日時： 2005/04/22 17:00

人がはしごを持っていて人とはしごが離れない場合重心の運動（回転運動）だけを考えればいいので単純です

No.2のいっているようにその運動を相似倍すればいいのです
人がはしごに乗っていて水平方向には摩擦で人とはしごが離れないとした場合には途中ではしごの先の加速度が人の落ちる加速度を上回り両者が離れはしごが先に落ちます

この回答への補足

なるほど、はじめは、人も横に動かねばならないから、なかなか落ちられないわけですね。はしごが左へ倒れていくとすると、途中からはしごはグット下に向かい、人は左へ行く慣性で、はしごの先端より左へ行くから人より、より速く下へはしごが行き、両者は離れてしまうという解釈でよろしいでしょうか。

補足日時：2005/04/23 12:39

No.3 回答者： ElectricGamo 回答日時： 2005/04/22 16:18

人とはしごの質量の比により結果は変わります。

人の質量をM, はしごの質量をm、はしごの長さをLとして、地上に落ちた際の人とはしごの持つ運動エネルギーKを求めると、その際の速度vを用いて

　　K=1/2Mv^2+1/6mv^2

となります（はしごは地面を中心として、角速度ω=v/Lで回転するので、地面を中心としたはしごの慣性モーメントI=1/3mL^2から1/2Iω^2=1/6mv^2の運動エネルギーを持ちます）。

倒れる前の位置エネルギーUは、U=MgL+mgL/2 ですので、エネルギー保存の U=K から、vは

　　v=(3gL(2M+m)/(3M+m))^(1/2)

と求まります。ここで、はしごと人の質量の比をx=m/Mと置けば、

　　v=(3gL(2+x)/(3+x))^(1/2)

ですので、人がはしごと比べて軽い場合、x→∞として、v=(3gL)^(1/2) となり、はしごが人と比べて軽い場合は x→0 から v=(2gL)^(1/2) となります。

この回答への補足

ありがとうございます何回も読んでますが、現在理解できたません。維持でも理解しようと努力しています。あしからず。

補足日時：2005/04/23 12:36

この回答へのお礼

お礼の場所ですみません。この疑問はチャチな時計塔をはしごで修理しようかやめとこかの時に沸きました。結局業者に頼みました。ところで、単純落下は、v=２gLでしたね。この条件の落下はv=√２gLになり、まともに落ちるよりは衝撃が少ないということですね。（はしごは軽いものだから）そしてはしごが重くなるほうが、それより少し危険が増すということねすね。この解釈でよろしいか、もう一度回答を頂きたく存じます。

お礼日時：2005/04/23 13:06

No.2 回答者： tokotasi 回答日時： 2005/04/22 14:19

はしごと人をあわせた物体が「立っている」ときの位置エネルギーと、

「倒れている」ときの位置エネルギーの差が、運動エネルギーに変換
されていると考えればよいのではないでしょうか？

★「はしごと人をあわせた物体」の重心の位置を求める。
(はしごの中心と先端を、はしごと人の質量比で比例配分した位置ぐらい。)

★その重心の高さから地上まで鉛直落下したスピードを計算する。
↑これが、地上位置での重心のスピードになるはず。

★重心位置でのスピードに相似比をかけて、はしごの先端のスピードを出す。

これでどうでしょう？

この回答への補足

ただいまうなって考えております。難しいけど面白いですね。あってるような間違ってるような。夜８時

補足日時：2005/04/22 20:22

No.1 回答者： pcbeginner 回答日時： 2005/04/22 10:54

はしごなしで鉛直に落ちた場合と速度は同じですよ。

力学的エネルギー保存の法則
mgh+1/2mv^2=一定(m:質量、g:重力加速度、h:(ある基準点からの)高さ、v:速度)
ですので、垂直に立っているときはv=0ですので、
(1)mgh+0=一定
落下したときの地面を基準点とすればh=0ですので、
(2)0+1/2mv^2=一定
(1)(2)より速度vを求めれば…。

この回答への補足

ありがとうございます、私は３日ほど前まで、同じと思ってました。しかし、重量のあるはしごを回転（平行移動でなく）させるエネルギーが必要と気がつきました。はしごが体重より十分軽いと、無視できましょう。重いはしごだと少し遅くなるはずです。

補足日時：2005/04/22 11:36