学校の授業で、限りなく0に近い数字は存在するかと言う
問題がありました。その時の答えはあまり記憶にないのですが、もしあれば仮にaとして、aは実数で四則演算が可能であるからa割る2(a/2)とする事が可能である.すると先ほどのaよりさらに0に近いa/2が存在することになり矛盾が出てくる。以上のような説明だったような気がしますがこの証明の仕方で正しいのでしょうか??

A 回答 (6件)

(ご質問の意図とは合わないでしょうが)もちろん存在します。

それは0です。

こういう難しい話は、きちんと問題を記述しないと全然答が違ってきてしまうんです。

「限りなく0に近いが0でない数はあるか」というのなら、
(1) 有理数(分数で書ける数)あるいは実数(πや2の平方根なども数に含める)だけ考えれば存在しません。
(2) 超準解析のような実数の拡大体(無限大や無限小も数の仲間に入れる)を考えるなら、無限個存在します。

「一番0に近いが0でない数が有限個だけあるか」ということなら、
(1) 自然数だけ考えれば1です。
(2) 整数を考えれば-1と1です。
(3) 有理数あるいは実数だけ考えれば存在しません。
(4) 超準解析のような実数の拡大体を考えるなら、無限個存在します。

無限大や無限小を含む数について考えるなら、クヌースの「数学小説 超現実数」(海鳴社)が入門に適しています。既に絶版と思いますが、大きい図書館で見つかるかもしれません。
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質問の解釈により回答が変わるのですが、


”0に限りなく近い数”を、0とその”0に限りなく近い数”の間には
他のどんな数も入らない数、とするのであればそれは存在しません。

しかし、”0に限りなく近い数”というものが、0に近い数がいくらでも存在するか?
という意味であれば、存在します。

証明から推測すると、質問の内容は前者であると思います。
そして、証明の方法はKM123様のものであっています。
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存在すると思います。



数直線って、今でも習うのでしょうか?
直線上の位置に実数を対応させた線です。
有理数(整数/整数)では線は全部埋まらないが、実数で
隙間なくつながると習った覚えが、だとすると0にはお隣があって
つながってるのでそういう数は存在すると思います。

ただし、円周率を正確にいくつと書けないようにその数もいくつとは
書けないと思いますが。
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学校がどのレベルかによるかも知れません。

(大学の数学科とか)
「存在」というのは、公理系にも依存すると思いますが、超準解析という分野では、「存在」します。(っていうか、定義します)
従来の微積分ではなく、超準解析では、0に限りなく近いものとして、モナドというものを定義します。
微分の「lim」記号が「ドンドン近づく」というイメージで動的なのがいやなので、超準解析では、無限小の数を定義して、それをつかって普通の四則演算で極限操作を定義します。(もちろん、四則の定義はやり直しです。)
詳しくは、斎藤正彦さんの本とか、数学セミナーの1977年の連載とか見て下さい。
(数学をやめて2年も経ってしまった…)
超準解析の実際の利用法は、釜江さんの本にたしかあります。
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0に限りなく近い数字、この説明でいいのではないでしょうか?


数学の証明として書くと、
 存在するとする(put a ) aは実数
故に、a/2が存在する  |a/2|<|a|
  矛盾  故に存在しない

実数は連続していますから、どこまでいっても、もっと近い数があります。
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高校までの数学しか習っていないんですが、


存在しないと思います。
微積では極限的に0に近づけた数をイメージすることになりますが、その値が実在しているとは聞いたことがないです。
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