No.1ベストアンサー
- 回答日時:
関数空間が重要です。
応用数学や物理数学には必須です。R^n はn個の実数の組<r1,r2, ...., rn> を要素とする集合ですが、関数空間は (適当な制限を満たす)関数の集合です。
いい加減な考え方ですが、<f(r1),f(r2),.....,f(rn)>において、nを無限大にしたもの、と捉えるのでも取りあえず良いでしょう。だからR^nがn次元であるのに対して、関数空間は無限次元です。
R^nに於ける内積は p・q = Σ{i=1~n} (pi qi) ですが、関数空間では内積は(目的に応じて)いろいろ選べます。その内積に対応して様々な関数空間が作れる。最も簡単でよく使う内積は
p・q = ∫ p(t)q(t) dt (ただし積分は t=-∞~∞)
というものです。
R^nにおけるベクトルの足し算は
p+q = <p1+q1, p2+q2,.....,pn+qn>
です。同様に関数空間では
p+q = f (ただしfは任意のtについてf(t) = p(t)+q(t)となる関数)
です。
R^nにおけるベクトルのスカラー倍は
ap = <ap1, ap2,.....,apn>
です。同様に関数空間では
ap = f (ただしfは任意のtについてf(t) = ap(t)となる関数)
です。
R^nの正規直交基底、つまり直交座標系の軸を表す単位ベクトルはたとえば<1,0,....,0>, <0,1,....,0>,...,<0,0,....,1>のn個ですけど、これに限る訳ではなく適当に回転しても良い。2次元の場合<1,0>,<0,1>でなくても<√2/2,√2/2>, <√2/2,-√2/2> でも良い。
要するにn個のベクトル<a1, a2, ..., an>が正規直交基底であるためには、
ai・ai = 1 (i=1,2,...,n)
ai・aj = 0 (i≠jならいつでも)
ということを満たせば良い。
同様に、関数空間の場合の正規直交基底も関数の列<a1,a2,.....>が
ai・ai = 1 (i=1,2,...)
ai・aj = 0 (i≠jならいつでも)
を満たせばよい。でも無限次元ですから、n個(i=1,2,....,n)という訳には行かず、無限個の関数の列が基底になります。このような正規直交基底をなす関数の列を「正規直交関数系」と呼ぶ。チェビシェフの多項式はそのような関数系のひとつです。
また内積を
p・q = ∫ p(t)q(t) dt (ただし積分は t=0~2π)
とすると、これは周期2πの周期関数からなる関数空間で、
<1, sin θ, cos θ,sin 2θ, cos 2θ, .... >はその直交基底です。
直交関数系、関数解析などをキーワードにして教科書を探せばいっぱい見つかります。
No.2
- 回答日時:
ベクトル空間は一般の体k上で定義されるので、R^n , C^n以外に無数にあります。
ベクトル空間の本を開くと、多くの場合体RまたはCで書かれていますが、
実数体R、複素数体Cの性質に依存する内容は少ないと思います。
ということは一般の体k上で議論しても、ほとんど同じ結果が得られます。
(厳密には標数0の可換体の場合なら同様の議論ができると思います)
RやCで書かれているのは、おそらく学習者にとってイメージがつかみやすいためと、
工学への応用を考えると、RやCでの議論で十分だからでしょう。
ややこしいのは体kが非可換体だとか、標数0以外の体の場合です。
この場合はおそらく少し違う結果が得られるかもしれません。
この辺は私の知識では確かなことは言えません。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 ベクトル空間であることの証明の際に10このベクトル空間を使用すると思います。その時に文字は太くなりま 2 2022/07/29 04:15
- 数学 数学 平面ベクトルにおける「一次独立」の定義は 3つのベクトルの大きさが0でない。平行でない。 でし 3 2023/04/10 02:25
- 数学 空間ベクトル(重心) 1,2,3/4,5,6/7,8,9 は同一直線上にある座標ですが なぜ同一直線 3 2023/04/10 20:15
- 数学 数学(ベクトル) 単位ベクトルの一次結合で一般の空間ベクトルは表せる という式なのですがなぜ 「x1 3 2023/04/10 01:24
- 数学 あ、幾何学的ベクトルで出す内積と吸うベクトル空間の内積って厳密には違うものか? 3 2023/08/28 21:04
- 数学 誤字があり再質問 『平面ベクトルにおいての一次独立の定義』 2つのベクトルが0→ではない。平行でない 2 2023/04/28 16:54
- 数学 数学(ベクトル) 平面ベクトル、空間ベクトル両方において 内積での「なす角」は0°以上180°以下 3 2023/04/09 18:27
- 数学 空間ベクトルの問題で、 大問:次の値を求めよ。 (2)cos∠AOM という問題が出た時、答えの1/ 4 2022/09/30 17:28
- 物理学 ベクトルと座標系につきまして 1 2022/04/03 06:23
- 数学 空間ベクトル(重心) 1,2,3/4,5,6/7,8,9 の座標空間上の三角形の重心が 4,5,6に 1 2023/04/09 20:04
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報