再就職手当の申請と退職 - 転職 - 教えて！goo

５月１０日に、失業保険給付中に転職をしました。
受給期間中の早期就職のため、再就職手当が受給でき、
近いうちに申請しようと思っています。

が、現在の就職先も退職を考えています。（金銭面、雇用体制の相違から）
仕事を辞めてから、再度就職活動をするのではなく、働きながら、他の仕事を探し面接をいくつか受けている状態です。
この場合、再就職手当ての申請はしておいた方がいいのでしょうか？（申請期限は６月１１日迄です）
なかなか、良い仕事にめぐり合わず、今までも１０社程の面接を受け不採用が続いています。
正直、いつ次の仕事が決まるかわかりませんが、長い目で見ても、他の仕事につきたいのです。

とりあえず、再就職手当ての申請をして、他の仕事が見つかったら、その就職先からの雇用保険で、再就職手当をまかなう事は可能なのでしょうか？

どなたかご存知の方、経験者の方がいたら教えて下さい。