黒体放射の計算

黒体放射の放射公式を使って、単位時間に黒体が放出するエネルギーの全量を求める問題です。
途中に
x^3*(exp(x)－1)
を0～∞で積分する所があったのですが、解答には
「留数定理からπ^4/15」
としか書いていなかったので具体的にどう計算したのか全く分かりません。

留数定理自体は理解しているのですが、この問題でどう使えばよいのかさっぱり分からないので誰か教えてください。

（ちなみにテーラー展開で強引に出すことはできました）

No.1 ベストアンサー 回答者： grothendieck 回答日時： 2005/06/05 18:10

まず被積分関数がご質問のままだとx→∞ で発散するので

　∫[0～∞]dx x^3/(exp(x)－1) = π^4/15
に直す必要があります。そしてζの定義
　ζ(z)=(1/Γ(z))∫[0～∞]dx x^(z-1)/(exp(x)－1)
と
　ζ(4) = π^4/90, Γ(4)=6
から求めたい積分が得られます。ζ(4) = π^4/90については適当な本を見て下さい。

この回答への補足

テーラー展開でやった方法はそれなんです。
留数を使った方法をお願いします。

補足日時：2005/06/05 22:21

この回答へのお礼

確かにx^3*(exp(x)－1)は間違いで、
被積分関数はx^3/(exp(x)－1)です。
ご指摘ありがとうございました。

お礼日時：2005/06/05 22:21