円周率の数字の列で

Question

円周率は無限にランダムに数字が並んでいますよね
たとえばその数字の列のうち「０」の部分は普通に考えて平均すれば
数字10個並べば1個「０」が出てくる割合で含まれていますよね。
　その「０」のうちそのすぐ右側にまた「０」が出てきて「００」になるのはそのうちのおよそ１／10ですよね。同じように考えていってたら
無限に続く円周率の数字の列のうちには０が連続して100並ぶ所はおろか
1億並ぶところも在りそうですよね。感覚的には不自然ですけど、このように
考えると０が1億並ぶところが無いほうが不自然にも思えます。

　実際のところはどうなんでしょうか？無限に続く円周率の数字のの
列にはいかなる組み合わせの数字の列も何桁目かはわからなくても必ず存在すると考えて良いのでしょうか？

Quattro99 · Accepted Answer

例えば、0.1111...という循環小数は「無限」ですが、00という数字の並びは絶対に出てきません。ですから、「無限」であることがどんな組み合わせも必ず現れる理由には成り得ないと思います。
また、
0.1以下、
12
123
.
.
1234567890
12345678901
.
.
と続く少数は、循環小数ではありませんが00という数字の並びは絶対に出てきません。
これらの例では00という数字の並びが出てこないことを確かめられますが、円周率の場合は出てくるか出てこないかを確かめようがないのではないかと思います（出てくる方は、実際に計算していって出てくれば、その数字の組み合わせは出てくると確かめられますが、出てこないことは確かめようがない）。しかし、確かめようがないからといって、それが必ず現れることの証明にはならないのではないかと思います。

円周率の最初の3は確率によって得られた数字ではありませんし、次の1もその次の4も確率によって得られた数字ではありません。どの桁の数字もすべて最初から確定した定まった数です。

確率で得られる数字の列なら、例えば00という数字の並びが10桁目までに出てくる確率、100桁目までに出てくる確率が求まります。n桁目までに出てくる確率も求まり、nを無限大にするとその確率は1に収束すると思います。
しかし、円周率の場合は、00という数字の並びが10桁目までに出てくる確率を無理に考えれば0です。100桁目までに出てくるのかどうかは知りませんが、出てくるなら確率は1ですし、出てこないなら0です。
n桁目までに出てくる確率も、nが、00が最初に出てくる桁数よりも大きければ1ですし、小さければ0です。nを無限大としたとき、確率がどうなるかはその数字の並びが存在するのなら1、存在しないのなら0となるので、存在が確かめられた数字の並び以外は「わからない」ことになります。
確率論で「存在する」と考えるのは、最初から存在することを前提として確率を求めていることになり、論理的に破綻しているのではないかと思います。

graphaffine · Answer

8942さん、今晩は。No11です。補足読ませて頂きました。

＞この辺のところがわかってきました。ただ見た目にはやっぱりランダムに
＞見えます（^^）　だだそれを証明しなくてはならないが証明されてはいないんですね。

あのー、ランダム性は関係ないし、従ってその証明もどうでもいいというつもりだったのですが、もしかすると勘違いされてます？

問題はTacosanさんが述べられた正規性です。
そこでの正規列の例はなかなか興味あるものですが、無駄(重複）が見受けられます。そこで、例えば、「１００までの全ての整数を含む最も短い列を求めよ」のような問題を考えるのも面白いと思います。多分並びががらっと変わるような気がしますが。

Tacosan · Answer

「任意の有限列が必ずどこかに現れる数」は正規であると呼ばれますが, 円周率が正規かどうかはまだわかっていません (たぶん).
ちなみに最もわかりやすい正規な数は, 0.1234567891011121314... のように, 「0.」のあとに整数を順に続けていったもの.

noname#108554 · Answer

この問題はおよそ100年前、数学基礎論という分野で考案されたものです。
その意図するところは、次のとおり(参考URL)

「直観主義というのは、ある命題*3の真偽は必ず決定できると考えるのではなく、「真偽どちらか決定不能」という場合もある筈だ、という考え方であるらしい。
　従って、ある命題が「真」であることを証明するのに、それが「偽」と仮定すると矛盾するからこの命題は「真」だ、というのは認めないと言うことである。「真」か「偽」か判らない状態があるから、「偽」でないなら「真」、「真」でないなら「偽」というのは通用しない、というのだ。ただし、虱潰しに調べることが可能なことはその限りではない。 」

つまり、ブラウウェルによれば、
「決定不能(真偽が決められない)という問題があるんじゃないのか？
例えば、『円周率に0123456789という数字の並びが出てくるか？』
というタイプの問題はそうした問題である可能性がある。」ということです。

おそらく質問者さんの意図とは異なる回答ですが、
一応有名な問題ということで。

参考URL：http://gifu.cool.ne.jp/gggzzz/mukasizakkisou/0302zakkisou.html#030206

adinat · Answer

♯1です。正しいか正しくないかのどちらかには違いないのにそれを証明する術がなくて、自分の信じる主張を書いただけだから不毛な議論にしかならないのです。それで二度も書き込むのもどうかとは思ったのですが、やっぱり自分の信じるものを主張したくなったので再度。

円周率は無理数です。無理数なら巡回小数ではないですから、いかなる有限の数字もどこかに現れるという"可能性"はあります。ですが無理数だからといってそれが必ずしも正しいとは限らない。簡単な反例ですが、1、10、100、1000をそのまま小数点以下に並べた、0.1101001000100000…なる実数は無理数ですが、明らかに2や3など出てきません。ところでほとんどの実数の小数展開は0～9までの数が1/10の比率で現れるということが確か証明できたと思いますが（嘘かも知れないですが、偏りのある実数はルベーグ測度0になったとかいうそういう話だと思います）、そういうことからほとんど大抵の無理数には、そういうある種のランダムネスがあって、したがってどんな有限の数も存在すると支持したくなるのです。別にπだからというのが根拠ではありません。オイラーγだって構わないのです。自然対数の底のeも然り。ただπが小学生や中学生だって知っている無理数ですから、そういう意味でシンボリカルに言っているだけだと思います。

で、参考URLをご覧になってみてください。πの100万桁です。ieだったら「コントロール+F」とでもして検索をかけてみてください。適当に選んだ5桁の数だったらだいたいどこかにあると思います。それで6桁ぐらいの数だとヒットしないことがあります。はっきり言って根拠はまったくありませんが、πの1000万桁までには任意の6桁の数はほぼ確実にどこかに出ていると思います。1億桁なら7桁の数をほぼ網羅しているのではないかと思うわけです。スケールを小さくして考えてみてください。たとえば1桁の任意の数、0,1,2,…,9は必ずどこかに出てきます。でも0はなかなか出てきませんね。ちなみに小数点以下第32位に初めて出てきます。で、この事実を知らなかったとします。計算機を使わなければ事実上このあたりまで計算するのは至難でしょう。ドイツのルドルフでしたっけ？一生涯かかって37桁で、墓に刻んでくれ、という逸話があるぐらいですからね。余談はさておき、円周率の100万桁まで0が一度も出てこないと想像できますか？まずそんなことはないと思いますよね。もちろん証明することはできないですが（あくまでも、円周率を計算できないと仮定してですよ）、だいたい肯定できますよね。それと同じことです。任意に大きい数をとってきて、たとえば0123456789876543210がどこかにある、という問題を考える。これだってたとえば10^100（これは宇宙の全素粒子の数よりも多いですが）桁まで計算できたとしてただの1回も出てこないなんてとても肯定できないのです（あくまでも僕は、という話ですが）。というわけで証明は出来ないですが、僕は「いかなる組み合わせの数字の列も何桁目かはわからなくても必ず存在すると考えて良い」と思うわけです。

あともうここには書き込まないことにしておきます。

参考URL：http://www.kisaragiweb.jp/pi/pi1m.htm

graphaffine · Answer

ランダム云々の話と、任意の列が出現するかどうかは
別の話でしょう。
それから、確率云々に関してはQuattro99さんに、全面的に賛成です。円周率は確定した数ですから、列が与えられたとき、それが出現するかどうかは確定します。
ただ、その判断ができないだけです。

最後に、御質問の答えです。
＞実際のところはどうなんでしょうか？無限に続く円周率の数字のの
＞列にはいかなる組み合わせの数字の列も何桁目かは
わからなくても必ず存在すると考えて良
＞いのでしょうか？

否、何故ならそのように考える根拠がないから。

kosan5 · Answer

円周率は<定数＞です．

　ただ，超越数なだけです．
　超越数が乱数であるとはいいきれません．
　だから，０が１０００００個ならぶことが
永久にない数値なのかもしれません．
　これは，いまのところだれにもわからないのです．

　乱数列があれば，１０＾１０００００００桁の間には
５桁程度のの数値が一度は出てくるのかもしれません．

　でも，円周率は＜定数＞なので，それが起こるかどうかは，誰にも不明ななのです．
　ただ，数桁の乱数表として使用するのは問題がないようです．
　（これは，数万桁分の数値の出方の頻度の計算結果によります）」

nitscape · Answer

＃４です。

＞（ゼロがたくさん並ぶのが）確率的にはありえますよね。
と書きましたが、この「確率的には」についての補足です。

確率を論じるときには、今回の場合には"円周率"という数字が0～9の数字がランダムに集まっていない場合は単純には"確率的にありえる"とは言えません。
例えば1/3=0.3333...という数字はランダムに数値が集まっているわけではないため、単純に"確率的にありえる"と言えないのと同じです。

問題は円周率がランダムかどうか？という問題ですが、この問題は現在の数学では決着がついていません。つまりランダムであるかそうであるかについては証明されていません。
しかし現在までに求められている円周率の数値（有限の値）を調べることで"十分にランダムな数値である"とは言われています。ただし"本当に"ランダムかどうかは証明できていません。ランダムさを調べる検定で条件を満たしているというだけです。

この先、ず～っと続く桁数まで（本当に)ランダム差が保たれるかどうかは分かっていません。しかし（本当に)ランダムであれば"確率的にありえる"ということです。

guramezo · Answer

「無限」に続く数字ですから、おっしゃるように、どんな組み合わせも必ずどこかに現れてきます。

いくら「膨大」であっても「有限の数字」であればともかく、「無限」ですから、現れないわけがありませんよね。

但し、例えば０が１億並ぶ数列が生じるまでには、何桁の数字が必要かとなると、まず「全宇宙に存在する素粒子の数」以上（それも、素粒子数の素粒子数乗といった、とてつもない数）ではないでしょうか。
（どなたか数学者の方、計算してほしいですね）

でも、このような数字は、「数学的な解析」の対象としてあり得るのか、という疑問が沸きますね。
「観察者の存在が、測定の結果に影響する」という量子力学での現象の逆で、「想定不可能な大きさの数字は、”無限”としか位置づけられないので、生じる確立を計算できない」という気もします。
素人考えですけど・・・

tomtom_ · Answer

単なる参考意見ですが，#1さんや#4さん辺りのご回答が妥当なように思えます．
その12345なんかを見つけたのは，自身で円周率を計算した東大の金田先生ですが，先生が言うには統計的に十分乱数として扱えるということです．

円周率の数字の列で

例えば、0.1111...という循環小数は「無限」ですが、00という数字の並びは絶対に出てきません。

8942さん、今晩は。

「任意の有限列が必ずどこかに現れる数」は正規であると呼ばれますが, 円周率が正規かどうかはまだわかっていません (たぶん).

この回答への補足

この問題はおよそ100年前、数学基礎論という分野で考案されたものです。

♯1です。

ランダム云々の話と、任意の列が出現するかどうかは

円周率は<定数＞です．

＃４です。

「無限」に続く数字ですから、おっしゃるように、どんな組み合わせも必ずどこかに現れてきます。

単なる参考意見ですが，#1さんや#4さん辺りのご回答が妥当なように思えます．

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　円周率は<定数＞です．