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1~9までの自然数から、異なる2つの数を選んで並べたとき
(1)奇数は何個できるか?
(2)3の倍数は何個できるか?

(1)の方は、1の位:奇数(5個)、10の位:1の位に入る奇数以外(8個)
よって、5×8=40 A、40個になると思うのですが、(2)のほうがいまいちやり方がわかりません。教えてください。

A 回答 (11件中1~10件)

既出の回答と内容的には同じなのですが。



3の剰余系(3n、3n+1、3n+2)で分類すると、9つの繋がった自然数ですから、3つずつに分かれます。
1の位と10の位を足して3nになればよいので、
(1)1の位が3n→10の位も3nなので3P2
(2)1の位が3n+1→10の位は3n+2なので3*3
(3)1の位が3n+2→10の位は3n+1なので3*3
合計24通り。

※剰余系の表現の仕方がよくわからないので、書き方が良くないかも知れません。
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本当にゴメン。


答え26じゃなくて『24』。
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>以上をまとめて、3×3-3=26個


訂正:【以上をまとめて、3×3×3-3=26個】

>ここで、1の位と10の位の数字は同じであってはいけないので、3×3-3個
これは、1の位が3,6,9のいずれかのとき、10の位は3,6,9のいずれかであればよいので3×3個
この行だけにかかっています。

連投失礼。
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とりあえず式にするなら…。



2桁の数が3の倍数となるには、
1の位が1,4,7のいずれかのとき、10の位は2,5,8のいずれかであればよいので3×3個
1の位が2,5,8のいずれかのとき、10の位は1,4,7のいずれかであればよいので3×3個
1の位が3,6,9のいずれかのとき、10の位は3,6,9のいずれかであればよいので3×3個
ここで、1の位と10の位の数字は同じであってはいけないので、3×3-3個

以上をまとめて、3×3-3=26個


みたいな感じになるのかな。
変に式だけで表そうとすると、その式が何の意味を持つのか分からなくなってしまうので、ある程度説明が必要かもしれません。

Xの10の位をa、1の位をbとすると、
X = 10a+b
X = 9a+(a+b)
★ a+b = 3k (kは自然数)と表せるならば、
X = 9a+3k
X = 3(3a+k)
∴X は 3の倍数となる。

★が成立すれば X が3の倍数となります。
よって各桁の総和が3の倍数なら、その値も3の倍数となります。
(3と9の倍数判定法)
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No.2です。

再び失礼します。

>はい、それはわかります。たとえば、72は7+2=9ということですよね?では、それを式で表すとしたらどのようになるのでしょうか?
ひょっとして解き方は既にご存知で、「記述式での答え方」をお聞きになっているのでしょうか?

だとすると、下手に数式で記述するよりも、文章で記述して最後に羅列もしくはNo.6さんのようなことを書いて答え「何個」という風に書けばよろしいのではないでしょうか。
そもそもこの分野は問題集の回答でも数式ではなく文章で説明しているものも多いですよ。

この回答への補足

答えはすべて書き出せばわかりますよね。そうです、記述式での答え方がしりたいのです。説明不足で申し訳ございません。

補足日時:2005/07/07 23:42
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先に出ました3の倍数の特徴を考えて,



(1) 1,4,7と2,5,8からそれぞれ1個ずつ選ぶと3の倍数になる。

(2) 3,6,9はその中の2つで3の倍数となる。

と考えても出来ます。
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1の位:1のとき 10の位:2,5,8


1の位:2のとき 10の位:1,4,7
1の位:3のとき 10の位:6,9
1の位:4のとき 10の位:2,5,8
1の位:5のとき 10の位:1,4,7
1の位:6のとき 10の位:3,9
1の位:7のとき 10の位:2,5,8
1の位:8のとき 10の位:1,4,7
1の位:9のとき 10の位:3,6
合計24
ってもれなく数える!!
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3の倍数になるには、10の位の数字+1の位の数字=3の倍数になります。



10の位が1の場合足して3になるには2、5、8の3つ。
10の位が2の場合足して3になるには1、4、7の3つ。
・・・・と繰り返していけば求まります。

この場合は、99まであり、しかし異なる数字なので33、66、99の三つは省きます。また、0がないので、30、60、90も省かれます。あとは、計算してみてください。

3桁でも、100の位の数字+10の位の数字+1の位の数字=3の倍数ですし、4桁であってもまた同じように桁数分増やしていけば良いだけです。

ただ、2桁の場合は普通に列挙してみた方が早いでしょう。1~100までの3の倍数は33個しかないですし、そのうち10以下のものと、ぞろ目、0が入ったのを省くだけですから。
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>(2)3の倍数は何個できるか?


→1の位と10の位を足し算した値が3の倍数だと、元の数値も3の倍数になるらしい。
 ですので、1の位が
1としたら、10の位は、2,5,8の3つ
2としたら、・・・

という感じで頑張ってくださいませ。
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数学嫌いの僕のやり方なので、間違っているかもしれませんが…。



2桁の数字が3の倍数ということは、1の位と10の位の数を足せば、3の倍数になると言うことですね。で、1~9までの自然数なら、異なる2数の和が3の倍数なのは3,6,9しかないです。

と、こんな感じで解けば良いと思います。
もっと手際の良い方法があれば、僕も知りたいです。
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