円周率πや√２や√３ は循環少数ではない・・・

というのを聞いたことがあるんですが、これは証明されているんでしょうか？単に数十億桁まで計算してもいまだに繰り返しが出てこないから循環小数ではないと言ってるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： proto 回答日時： 2005/07/15 21:09

循環小数は全て有理数です

逆にπや√２などは無理数であることが証明されているので循環小数ではありません

この回答へのお礼

あ、いわれてみればそうですね^∀^;ありがとうございました。

お礼日時：2005/07/15 21:21

No.6 回答者： pyon1956 回答日時： 2005/07/16 07:30

πについてはこんな質問がありました。

http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1510021
証明は難しい内容ですがその質問の回答#2のリンク先
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/mondai/node26.h …解答3.2
にあります。

このように分数で表せない数を無理数という、という定義になっていますね。
なお、分数が循環ないし有限小数になるのは、自然数nで割り算をしたあまりが、０からn-1までのn
種類しかないことを考えると、わりきれないときの余りは（n-1）種類しかないので、たかだか（n-1）桁計算すると必ず同じ余りがでてくることによります。
循環小数が分数に直せるのは高校の数学で直し方をやりますので、たとえば
http://blog.so-net.ne.jp/balmy_breeze/2005-05-16
みたいになります。
このことから整数と有限小数と循環小数を合わせたものが有理数、つまり整数どうしの分数で表せる数（分母1を含む）と一致することがわかります。

ただし今のところ有理数か無理数かわからない数もあります。
http://www.k2.dion.ne.jp/~yohane/000suugaku1.htm
（このページの「オイラーの定数）

いずれにせよ循環しない小数で表現される数、無理数はいくらでもあり、他にも自然対数の底eとか、√πなどもそうですね。

No.5 回答者： kasabian 回答日時： 2005/07/16 01:48

循環小数は、必ず分数で表すことができます。

もし、√2が循環小数であるとすると、b/a（aもbも正の整数）で表すことができるはずです。
√2＝b/aとすると、
b＝a√2になりますね。
でも、√2にどんな整数をかけても、積が整数になることはありませんよね。
だから、a√2が整数bになることはないのです。
ということは、√2は分数では表せないので、循環小数ではない、ということになります。

断っておきますが、これは正しい証明ではありません。でも、感覚的に理解しやすいかと思って、こんな説明をしてみました。賛否両論あるかと思いますが、ご容赦ください。

No.4 回答者： tatsumi01 回答日時： 2005/07/15 23:46

循環小数は有理数、つまり分数で書けます。

√２が有理数でないことは古代ギリシャ（ピタゴラスの頃）に知られています。その証明は高校の数学で習いませんか？
√２は代数方程式 x^2-2 = 0 の根ですが、代数的方程式の根にならない無理数は沢山あり、πもその一つです。そのことは証明されていますが、その証明の理解はかなり難しいと思います。

No.3 回答者： Josquin 回答日時： 2005/07/15 21:10

証明されています。

循環小数だとすると、その数は有理数（分母分子が整数の分数で表せる数）になるはずなので・・・以下、背理法で。

No.2 回答者： shkwta 回答日時： 2005/07/15 21:10

完全に証明されていて、今後計算桁数が増えたら循環することがわかった、ということは起こりません。