三角形の問題です

「∠C=90 である三角形ABCにおいて、辺AC上にAD=2CDである点Dをとる。∠ABD=θとおくとき、DC/BC をtとおくときcosθをtの式で表せ。」という問題なのですが、解答ではBCをaとおくと、DC=atとなり、△DBCに三平方の定理を用いると、BDがtとaの式で表せる。またAD=2CDより、AC=3t/2 となり、今度は△ABCに三平方の定理を用いると、ABがtとaの式で表せる。また、AD=2CDより、AD=t/2 となり、△ABDのすべての辺の情報が出そろったから余弦定理を用いると、cosθをtの式で表せる。となっています。

わからないのは、初めにBC=aというふうに置くことと、△ABDに余弦定理を用いたときにaが消えることです。解答では、「三角比だからaは消える」と書かれてありましたが意味がわかりません。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Zincer 回答日時： 2001/10/15 23:50

先ず簡単にする為にＢＣ＝１の場合を考えてみましょう。

ＣＤを底辺に置くと底辺の長さｔ、高さ１の直角三角形ＢＣＤが出来ますね。
次に辺ＣＤを延長してその延長線上にＣＤ：ＤＡ＝１：２となる点Ａを決めます。
ここで出来た∠ABD（=θ）が、ｔだけで決まることは分りますか？
質問中の問題はこの図形をａ倍に拡大して、一般性を持たしただけの相似形ですので、θはａに依存しないこと解ります。
これで納得いきますでしょうか？

この回答へのお礼

＞ＣＤを底辺に置くと底辺の長さｔ、高さ１の直角三角形ＢＣＤが出来ますね。

ご回答ありがとうございます。DC/BCという式の形からtanがからむ問題だとおもって素直にBCをaとおけませんでした。

＞ここで出来た∠ABD（=θ）が、ｔだけで決まることは分りますか？
質問中の問題はこの図形をａ倍に拡大して、一般性を持たしただけの相似形ですので、θはａに依存しないこと解ります。
これで納得いきますでしょうか？

なるほど、納得できました。そうだったんですね。わかりやすい解説どうもありがとうございました。

お礼日時：2001/10/16 02:19

No.6 回答者： Cake0530 回答日時： 2001/10/17 03:10

↓＞ｈｉｎｅｂｏｔさん

　
　　すんません・・・。

　　馬鹿がバレるぅぅぅぅぅうぅ。

No.5 回答者： hinebot 回答日時： 2001/10/16 09:00

#3のCake0530様へ。

つまらないつっこみで恐縮ですが。
『まず、ＡＤ＝２ＣＤという式を言葉に直せば、「ＤはＡＣの中点」になります。これよりＣＤ＝ＡＤ＝ａｔ。』これ間違いです。
ＡＤ＝２ＣＤなのにＣＤ＝ＡＤって矛盾してますよね。以下の考え方自体は問題ないと思いますが。
正しくは、ＣＤ＝at,ＡＤ＝2at かな。
以上、気になったもので…。

この回答へのお礼

補足していただいてどうもありがとうございました。

お礼日時：2001/10/17 05:38

No.4 回答者： kony0 回答日時： 2001/10/16 07:37

#2のお礼について。

出勤前なのでひとことだけですが。

△OABで→OA=→a, →OB=→bとおくと、３つめの辺→AB=→b－→aと、２つのベクトルの差であらわせるからです。決して無視してるわけではなさそうですよ。

この回答へのお礼

なるほど、そうだったんですね。喉につっかえてた小骨がとれたようなすっきりした気分です。どうもありがとうございました。

お礼日時：2001/10/17 05:35

No.3 回答者： Cake0530 回答日時： 2001/10/16 00:20

　１年生ですか？無理に三角比で解く必要もないと思いますが、まぁ三角比でやってみましょう。

　解〕まず、ＡＤ＝２ＣＤという式を言葉に直せば、「ＤはＡＣの中点」になります。これよりＣＤ＝ＡＤ＝ａｔ。△ＢＣＤにピタゴラスの定理を用いて、ＢＤ＾2＝ａ＾2（１＋ｔ＾2）。（←これはＢＤに直さない方がいいです。あとでどうせ余弦使って２乗することになるから。）
　また、△ＡＢＣにピタゴラスの定理を用いて、ＢＡ＾2＝ａ＾2（１＋４ｔ＾2）。（←これも直さない方がいい。）　△ＡＢＤの全ての辺がａとｔで表せたので、余弦定理を適用してｃｏｓθ＝（２ｔ＾2＋１）／{２√（１＋ｔ＾2）√（１＋４ｔ＾2}　（←ａ、消えてますね。）

　　ちょっと計算に自信がないですが、方針はこれでいいと思います。で、質問の“ＢＣ＝ａと置くこと”ですが、ちょっと考えてみるとすぐに分かります。だってｃｏｓって、そもそも三角形の辺の“比”を表すわけですから、ＢＣの長さなんていくらでもいいわけです。ＢＣ＝１だろうとＢＣ＝１００だろうと、題意のｃｏｓの値は変わりません。“比”なんだから。
　ということは、問題を見た瞬間に“あ、このｃｏｓはｔの関数になるな。ＢＣの長さによらないな。”と分かるわけです。だから、ＢＣ＝ａと置いても差し支えないわけで、さらに言えば、ＢＣ＝１と置いても一般性を失いません。ＢＣ＝１００と置いても、ＢＣ＝９９９９と置いても。

　ってことで、大事なのは“ｃｏｓは比だぞ”と。“辺の長さによらないぞ”と。答えがずいぶん複雑になったので、計算が違うかも知れません・・・。　

この回答へのお礼

＞１年生ですか？無理に三角比で解く必要もないと思いますが、まぁ三角比でやってみましょう。

すいません、３年生です(^^)三角比ですぐに解決してしまう体質がついているようです。

＞問題を見た瞬間に“あ、このｃｏｓはｔの関数になるな。ＢＣの長さによらないな。”と分かるわけです。

なるほど、そう気づかないと行けないんですね。初めから消えるとわかっていないとおけませんよね。２乗をそのまま残して計算するところなども大変参考になりました。

＞ってことで、大事なのは“ｃｏｓは比だぞ”と。“辺の長さによらないぞ”

今まで、ほとんど意識していませんでした。うーんもう一回原点に戻って教科書を眺めてみたいと思います。ありがとうございました。

お礼日時：2001/10/16 02:35

No.2 回答者： kony0 回答日時： 2001/10/16 00:10

#1のZincerさんのアドバイスとまったく同じことなんですけど。

問題の条件式より、AD:CD=2:1, DC:BC=t:1であることが与えられているので、
AD:DC:CB=2t:t:1であることが直ちにわかります。
これによって、BCを適当に文字でおくという発想が生まれてきます。（比は具体化せよ！）

aが消えるのは、まさにZincerさんのおっしゃるとおりで、三角比は所詮直角三角形の２辺の比だから約分される、ということです。

＃ちなみに余弦定理など使わなくても、DからABに垂線DHをおろしてしまえば、中学校の練習問題になってしまいます。余力があればこちらの解法もどうぞ。

この回答へのお礼

＞問題の条件式より、AD:CD=2:1, DC:BC=t:1であることが与えられているので、
AD:DC:CB=2t:t:1であることが直ちにわかります。
これによって、BCを適当に文字でおくという発想が生まれてきます。（比は具体化せよ！）

お返事ありがとうございます。DC:BC=t:1という見方ができれば良かったんですね。変なところでtanの話かなと考え込んでつまづいていてしまいました。

＞三角比は所詮直角三角形の２辺の比だから約分される、ということです。

すいません、おたずねしたいのですが、今回のθは直角三角形でないと思うので、その場合で考えてみたいのですが、普通の三角形からcosの求める式にはa,b,cという３つの辺が登場してきますよね。それに対してベクトルからcosを求めるときにはcosθ=|→a||→b| / →a・→b に見られるように２つの辺しか登場してきませんよね。これはどういうことなのでしょうか。ベクトルは３つ目の辺を無視できるのになぜうえの三角形のcos公式ではできないのでしょうか。

お礼日時：2001/10/16 02:29