Maxwellの分布

Question

Ｎ個の成分のうち速度成分が
　（Ｖｘ、Ｖｙ、Ｖｚ）と（Ｖｘ+ｄＶｘ、+ｄＶｙ、+ｄＶｚ）の間にあるものの数を
　Ｆ（Ｖｘ、Ｖｙ、Ｖｚ）ｄＶｘｄＶｙｄＶｚ　とする　と多くの参考書に書いてありますがなぜそういう風におけるのかを説明されているものが見つかりません。どうかわかりやすく説明してください。

rabbit_cat · Accepted Answer

ああ、すいません。そういう意味でしたか。
「ＦがＶのみに依存しているのはなぜか？個々の気体分子はなぜ考えなくて良いのか」ということですね。
それは、数学ではなくて物理の問題ですね。早とちりしました。

たしかに、これはもっともな疑問ですね。
マクスウェル自身もかなり苦しんでいます。

そうですねえ。
http://www.bun.kyoto-u.ac.jp/phisci/Newsletters/newslet_5.html
ここなんかどうでしょう。

結局、つきつめていくと、「衝突数の仮定」と呼ばれる条件を仮定していることになります。

参考URL：http://www.bun.kyoto-u.ac.jp/phisci/Newsletters/newslet_5.html

siegmund · Answer

今の問題は３次元ですが，質問の要点は次元に関係ありませんので，
議論しやすくする(＋見やすくする)ために１次元にします．
すなわち，速度が v から v+dv の間にある粒子の個数を
(1)　　F(v) dv
とします．
N は非常に大きな数(アボガドロ数のオーダー)ですから，
速度が v から v+dv の間にある粒子の割合を
(2)　　f(v) dv
と思っても同じことです(f=F/N)．
むしろ，こちらの方が普通の表現です．
個数だと，0.5個などというのは本来の個数の定義になじみませんから．

さて，疑問なのは「なぜ dv がついているのか」なのでしょう．
例えば，正八面体のサイコロで，
１が書いてある面が１つ，２が２つ，３が３つ，４が２つ，
だったとします．
１，２，３，４，が出る確率はそれぞれ
1/8，2/8，3/8，2/8，です．
dx みたいなものはかかっていないじゃないか！
似たような話なのに，
どうして Maxwell 分布だと dx なんて変なものがついているんだ？

違いは，サイコロの数字が離散量であるのに対し，
速度が連続量であるところです．
速度が 1.234 [m/s] であると言ったって，ジャストその値ではなくて，
1.234 [m/s] くらい
(よく測定で目にするような表現なら 1.2335 [m/s] ≦ v ＜ 1.2345 [m/s])
ということです．
したがって，速度がジャストその量であるという割合は意味をもちません．
強いて言うならゼロです．
それで，速度の幅をつけて v から v+dv の間，という言い方をしているのです．

積分で面積を出すときの話を思い出してください．
関数 g(x) のグラフと x 軸の間の面積は
(3)　　∫{a→b} g(x) dx 
ですが，これは高さ g(x) で幅 dx の長方形の面積が g(x) dx である
ことから来ています．
幅 dx をつけておかないと面積になりません．
今の Maxwell 分布の場合も全く同じ状況です．

rabbit_cat · Answer

普通に物理をやる限りでは、
なぜというか、「そう置いてみようと思いたって、置いてみただけ」なんで、なぜ置けるかの理由はないですが。無理に直感的な説明をすれば、速度成分の確率密度分布みたいなものですよね。

そうではなくて、もっと深く、なんでこのように置くことがそもそも可能なのか（言い換えると、dVx，dVyとかの本当の（数学的な）意味付け）を知りたいってことでしょうか。

そうであれば、ここで説明するのは面倒なので、もし知りたければ、数学のカテでもう一度質問しなおしてください。ただし、数学でのdx、dy等の記号の意味は、直感的な、無限小みたいなイメージとは関係ありません。

Maxwellの分布

ああ、すいません。

今の問題は３次元ですが，質問の要点は次元に関係ありませんので，

普通に物理をやる限りでは、

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