質問

数Aの範囲の『順列と組合せ』についてわからないところがあるんですす。それは順列と組合せ『nPr』と『nCr』の使い分け方です。どういった文章題の場合が『nPr』でどういった場合が『nCr』なんですか??見分け方を教えてください!!明日小テストがあるんです!!ヨロシクお願いします。。

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回答 (8件)

大きく分けて、『~を一列に並べろ』『○枚のカードから○ケタの整数を作れ』など、‘並べる’系にはnPrを使い、『~から○個を取り出せ』『○人から○人を選べ』など、‘取り出す、選ぶ系’にはnCrを使います。

説明は他の方の書き込みのとおりです。

とりあえず「取り出しただけ」が「組み合わせ」
Cはcombinationの頭文字です。

取り出した後「順番に並べる」が、「順列」
Pはpermutationの頭文字です。

質問者が高校生だと思うので、この例がわかりやすいかどうか、
ちょいと自信がないのですが…。
競馬の勝ち馬投票券(馬券のこと)で、
3連複と3連単とがあります。
3連複は「1着から3着までの3頭を、とにかく当てる(順位は無視)」
これは組み合わせ。
3連単は「1着から3着の馬を、順位通りに並んだ状態で当てる」
「並んだ」状態なので、順列です。

僕が中学生の頃の考え方を言います。

どちらも、たくさんある中から幾つか選ぶものですが、Cは組み合わせ、Pは順列です。この言葉の
通りです。

Cは選ぶだけですが、Pは選んだものを並べるので
かならずC<Pになります。


52枚のトランプから3枚引く場合
52C3です。

52枚のトランプから3枚引いて並べる場合
52P3です。

10人のクラスが有るとします。
1列に並ぶ並び方ならP通りです。
クラスの中から3人のクラス委員を選ぶとすると選び方はC通りです。

混乱させるかも知れませんが、クラスの中から、
学級委員長、副委員長、委員を1人づつ選ぶというのは一列に並ぶのと同じでPです。

○・◇・△・×の4種類の物があるとします。ここから2個取るだけ(取った2個の並べ方は考えません)の組み合わせは4C2となります。
すなわち
4C2=4×3/2×1=6
○・◇  ○・△  ○・×  
◇・△  ◇・×  △・×ですね。 

取った2個を並べる組み合わせの式は4P2となります。
4P2=4×3=12
○・◇の組み合わせは○・◇  ◇・○の2通りがありますよね。なので2通り×6で12通りです。

4個から3個取るだけなら4C3
4C3=4×3×2/3×2×1=4通り
3個取りそれを並べる組み合わせなら4P3
4P3=4×3×2×1=24通り
わかりましたか?
あるものからとるだけならnCr
取って並べるのも考えるならnPrです。
 ちなみに公式からの計算方法はわかりますか?

ごく簡単に、
  「選んで並べる」ときは順列    -順番が意味をもつ
  「ただ選ぶ」  ときは組み合わせ -順番は関係しない

 <例>A,B,C3人から2人選んで
  (1)1列に並べる並べ方は  →順列(例えば AB と BA は違う)
  (2)その2人を代表者にする →組み合わせ(例えば AB と BA は同じ)

 テスト、がんばって。

結構問題を解いていけば簡単に分かるので、小テストが終わったら是非たくさん説いてみてください。面白いほど良く解けるようになるはずです。

簡単に言えば並べるのか、取り出すのかという問題です。ただ並べるのに「取り出す」という言葉が使ってあるのでいやですよね。
ただ、見分け方としては、並べる場合はきちんと左から右へというおく順番(nPr)がありますが、取り出し方(nCr)には順番がないということです。
つまり、取り出すといっても、~の順番で並べろといわれたらPを使うのです。
たとえば、
 駅が21ある鉄道会社が発駅と着駅を指定する片道乗車券を作るとき、何種類の片道乗車券ができるか
 という問題であれば、発駅と着駅という順番がありますから、Pをつかいます。つまり、21個から発駅と着駅の2つを取り出すということですから21P2です。面倒なので計算は省きます。
 一方、異なる8冊から5冊の本を選ぶとき、その選び方を求めよ
 という問題であれば、特に取り出す順番はありませんから8C5です。(一応、8C5は8C3と同じですから56通りになります。)
 高1の方ですよね。であれば同じ立場です。頑張ってください。

nPrは、異なるn個のものから、任意にr個とって1列に並べた順列の数です。
nCrはn個の異なるものから順序を考えずにr個取り出すときの総数です。

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