ポアソン分布の母平均の検定

X_1, ... , X_n をPo(λ)し従う母集団からのサンプルとし
帰無仮説 H_0 : λ = λ_0
対立仮説 H_1 : λ > λ_0
とし有意水準 ε で検定.

このときの棄却域は
2nλ_0 < χ_{2k}^2 (1- ε )
でよいのでしょうか.(kは S_n = X_1 + ... + X_n の実現値)

ある本にあった次のような演習問題ではこの棄却域を
2nλ_0 < χ_{2k}^2 (1- ε/2 )として解いています. それだと答え自体が全く正反対になってしまいます。

問題:
ある会社にかかってくる商品の注文電話の数は一日平均3件であるといわれている. 年末の10日間の注文電話の件数は
3,3,4,6,1,4,8,2,5,4
であった. この年末10日間は特に注文が多かったといえるか. 有意水準5%で検定せよ. ただし１日の電話注文の数の確率分布はポアソン分布に従うとして考えよ.


棄却域が 2nλ_0 < χ_{2k}^2 (1- ε ) であるとすると
χ_{80}^2 (0.95 ) = 60.4 > 60 より帰無仮説は棄却されるわけですが,
棄却域が 2nλ_0 < χ_{2k}^2 (1- ε/2 ) であるとすると,
χ_{80}^2 (0.975 ) = 57.2 < 60 より帰無仮説が採用. よってこの10日間は特に注文が多かったとはいえない(解答はこうなっている)

数理統計に詳しい方のご意見をお待ちしております。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： adinat 回答日時： 2005/10/08 10:13

棄却域はyoo_20052005さんが設定した方法でよいですし、演習問題の棄却域も正しいです。

yoo_20052005さんの方法は右側検定の棄却域、演習問題では両側検定の棄却域だからです。いずれにせよ、ポアソン分布の棄却域を求める方法は以下の等式に基づいています。

P[・]は確率、χ^2(n)は自由度nのχ^2分布に従う確率変数、Po(λ)は平均λのポアソン分布に従う確率変数だとします。このとき、
P[χ^2(2n+2)≦2λ]=P[Po(λ)≧n+1]
P[χ^2(2n+2)≧2λ]=P[Po(λ)≦n]
が成り立つ。

数学的な議論は参考URLをご覧ください。
「二項母集団、ポアッソン母集団、指数母集団の精密法による区間推定」
というところに、信頼度1-εの信頼区間の導出が書いてあります。
この補集合が両側検定の棄却域です。
また右片側検定をするのであれば、信頼区間を2εにした両側棄却域のうち、
右側の棄却域だけを見ればよいです。

いずれにせよ片側検定をする場合は、同じ有意水準の検定の場合について、
片方の棄却域に入る確率がちょうど倍になるように設定するので、
そのような違いが生じているわけです。

参考URL：http://www5d.biglobe.ne.jp/~pomath/study/statist …

この回答へのお礼

丁寧な回答どうもありまがとうございます。とても参考になります。私自身、両側検定、片側検定という概念をあまりよく理解していなかったようです。特に離散型確率分布の区間推定、検定という話には苦手意識をもっていました。教科書や参考URL等でもういちど勉強し直したいと思います。ありがとうございました。

お礼日時：2005/10/09 17:35