離心率の求め方。

だ円ｘ＾２/ａ＾２＋ｙ＾２/ｂ＾２＝１（ａ＞ｂ＞０）上の任意の点をＰとする。Ｐから定点Ｆ（ｃ、０）までの距離ＰＦと、Ｐから定直線ｘ＝ｄへの距離ＰＱが、常にＰＦ：ＰＱ＝e：１をみたすという。（e>0),c,dをa,bを用いて表せ。

尚、双曲線ｘ＾２/ａ＾２　－ｙ＾２/ｂ＾２＝１についても同様に求めよ。

まず、だ円の回答⇔　
ＰＦ＾２＝（ｘ－ｃ）＾２＋ｙ＾２
ＰＱ＝｜ｄ－ｘ｜
これとＰＦ＾２＝ｅ＾２ＰＱ＾２とから
（ｘ－ｃ）＾２＋ｙ＾２＝ｅ＾２（ｄ－ｘ）＾２　(1)

Ｐ（ｘ、ｙ）はだ円上の点であるから
ｘ＾２/ａ＾２　＋　ｙ＾２/ｂ＾２　＝　１
∴ｙ＾２＝ｂ＾２－（ｂ＾２/ａ＾２）ｘ＾２これを(1)に代入してから、こうべきの順に整理すると
（a＾２－ｂ＾２－ａ＾２ｃ＾２）ｘ＾２ー２ａ＾２（ｃ－ｅ＾２ｄ）ｘ＋ａ＾２（ｃ＾２＋ｂ＾２－ｅ＾２ｄ＾２）＝０　

☆これが、－ａ≦ｘ≦ａである
全ての実数ｘについて成り立つので
ａ＾２－ｂ＾２ーａ＾２ｅ＾２＝０
ｃ－ｅ＾２ｄ＝０
ｃ＾２＋ｂ＾２－ｅ＾２ｄ＾２＝０
これからｅ（＞０）とｃ、ｄを求めて
ｅ＝√（a＾2-b＾2)/a, C=±√(a＾2-b＾2),
ｄ＝±a＾2/√(a＾2-b＾2) （複合同順）
以上で求まるのですけど、双曲線のもとまりません
＞＿＜同じようにやって解いていくと思うのですけど、
だ円の時ちがい、今回は双曲線なんで、符号がマイナスに変わったｘ＾２/ａ＾２　ー　ｙ＾２ /ｂ＾２　＝１です。これを変形しても、-a>x a<xとなると思うので
だ円の時に用いた☆これが、－ａ≦ｘ≦ａである全ての実数ｘについて成り立つのでというのが使えないので、どうしたらよいのか解りません。　
双曲線の方はどのように求めればよいのでしょうか？
誰か教えてください！！！

No.2 ベストアンサー 回答者： debut 回答日時： 2005/10/26 18:33

確かに、

＞例えば、ｘ＾２－２ｘ＋４＞０の時とかのグラフを書いたら、放物線が
＞ｘ軸より浮いていて、ｘ軸横全て、正になる事がわかるので、ｘは全て
＞の実数に成り立つと学びました。また、例えば、－ｘ＾２＋ｘ＋２＜０
＞だったら、－（ｘ－1/2)＾2＋9/4となって、不等式の範囲はー１＞ｘ、
＞２＜ｘみたいになりました。

は、ｘの２次式、例えば　ｘ^2－２ｘ＋４　が正になるのはｘがどんな
範囲にあるときか？ときかれれば「ｘはすべての実数である」と答えます
が、今回のｘの２次式は不等式ではありません。ご質問の際に最後の方に
出てきたｘについての長い式があるでしょう。あれは、だ円が存在する
範囲のｘについては成り立つ式です、ということです。なぜなら、この場
合のｘはだ円上の点Ｐのｘ座標ですから。つまり、ｘの範囲は、だ円とｘ
軸との交点のｘ座標である－ａからａまでで考えている、ということです。
だから、あのｘについての長い式は、ｘが－ａからａの間ならばその間に
だ円のグラフが存在するから、ｘにどんな実数を入れても＝０になると
いうことです。
たぶん数Iかなんかでやったと思いますが、ｘについての２次式（ここでは
２次式に限ってみますが・・）があってそれがすべてのｘについて成り立
つ場合、その式を恒等式といって、
　Ａｘ^2＋Ｂｘ＋Ｃ＝０　ならば　Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝０　である
というようにやりましたよね？
その考えを、今回の場合は、ｘを－ａからａに限って使ったわけです。
もし、ｘの範囲が限定されていなければ、ｘがすべての実数について成り
立つから・・・は言えなくなります。

わかったでしょうか？不明な点があればどうぞ。

この回答へのお礼

わかりました！！＞＿＜　丁寧に教えてくれてありがとうございました！すごく嬉しくて感動しました！！！！もっと数学の世界について知りたいので、頑張ります！！！！ありがとうございました！！！！！！！！！

お礼日時：2005/10/26 19:42

No.1 回答者： debut 回答日時： 2005/10/26 15:46

だ円のときと同じようにやります。

＞☆これが、－ａ≦ｘ≦ａである
＞全ての実数ｘについて成り立つので
＞ａ＾２－ｂ＾２ーａ＾２ｅ＾２＝０
＞ｃ－ｅ＾２ｄ＝０
＞ｃ＾２＋ｂ＾２－ｅ＾２ｄ＾２＝０

とした理由を考えてみてください。最後に出てきたｘの２次方程式が、
「－ａ≦ｘ≦ａにおいてはｘにどんな実数を入れても成り立つ、つまり
ｘについての恒等式になるから、各項の係数＝０とできる」としたわけ
ですよね。
だから、双曲線の場合も、ｘ≦－ａ，ａ≦ｘにおいては、双曲線の式に
関して出てきた方程式
　(a^2+b^2-a^2e^2)x^2-2a^2(c-e^2d)x+a^2(c^2-b^2-e^2d^2)=0
がｘについての恒等式になるので、各項の係数＝０として求められます。

解答では、同じようにして、「これがｘ≦－ａ，ａ≦ｘのすべての実数に
ついて成り立つので・・・」とすればいいです。

この回答への補足

どうしてなのか、理由がわかりません＞＿＜
なぜ、－a≦ｘ≦ｘに置いてはｘにどんな実数を入れても、成り立つのか解りません。
なので、各項の係数＝０と二次方程式が３つ出てきたのにスゴク驚いていて、私なりに二次方程式を昔学んだ時に、不等式のところで、例えば、ｘ＾２－２ｘ＋４＞０の時とかのグラフを書いたら、放物線がｘ軸より浮いていて、ｘ軸横全て、正になる事がわかるので、ｘは全ての実数に成り立つと学びました。また、例えば、－ｘ＾２＋ｘ＋２＜０だったら、－（ｘ－1/2)＾2＋9/4となって、不等式の範囲はー１＞ｘ、２＜ｘみたいになりました。つまり、これがｙが負になる範囲なんですけど、
今回のも、ーa≦ｘ≦aという範囲を得たのは正になる範囲だと思うのですけど、どうして、三つの係数の部分を抜き出して、二次方程式＝０とできるのですか？？？
それか、ｘにどんな実数を入れても成り立つという意味が、何に対して成り立つのか意味が解ってないと思います＞＿＜　ごめんなさい＞＿＜

補足日時：2005/10/26 16:58