No.2ベストアンサー
- 回答日時:
周期2Lの偶関数のフーリエ級数は
f(x)~a[0]/2+Σa[n]cos(nπx/L)
a[n]=1/L∫(-LからL)f(x)cos(nπx/L)dx
=∫(-1から1)f(x)cos(nπx)dx
=∫(-1から0)(1+x)cos(nπx)dx
+∫(0から1)(1-x)cos(nπx)dx
部分積分を使って解くと(途中省略です)
a[n]=2/(n^2*π^2){1-(-1)^n}
=nが偶数のとき 0
nが奇数のとき 4/(n^2*π^2)
a[0]/2=1/2∫(-1から1)f(x)dx
=1/2
f(x)~1/2+4/π^2{cos(πx)/1^2+cos(3πx)/3^2
+cos(5πx)/5^2+・・・・・}
と展開できます。
No.1
- 回答日時:
展開する範囲はどこまでですか?
わからないのでとりあえず -1≦x≦1 で展開すると仮定します。
周期が2πでないので、周期を2に変える必要があります。
フーリエ係数はそれぞれ
a[n] = 2/τ∫f(x)cos(2πnx/τ)dx [積分範囲は0≦x≦τ]
b[n] = 2/τ∫f(x)sin(2πnx/τ)dx [積分範囲は0≦x≦τ]
ここで、τは周期(この問題の場合τ=2)
f(x)を周期関数とみなせば積分範囲は-τ/2≦x≦τ/2としてもいいです。
フーリエ級数は
F(x)=a[0]/2+Σ{a[n]cos(2πnx/τ)+b[n]sin(2πnx/τ)}
後は計算だけなので自分でやってください。
ちなみに、
偶関数の定義は
f(-x)=f(x)
が成り立つこと。
奇関数の定義は
f(-x)=-f(x)
が成り立つこと。
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