(1+x)^mの2項展開がmが実数(複素数)の時にも成り立つことをわかりやすく教えてください。

A 回答 (1件)

回答がないようなので。


f(x)=(1+x)^a
|x|<1としても一般性を失いません。(|x|>1なら、y=1/xとおいてf(x) = (x^a)((1+y)^a )とできます)
f(x)をマクローリン展開して
f(x) = 1 + (f[1]/1!) x^1 + (f[2]/2!) x^2 + .....
ここに
f[n] = a(a-1)(a-2).....(a-n+1)
f[n]はf(x)をn回微分して、x=0を代入した物です。マクローリン展開(或いはテイラー展開)は公式集や参考書等をご参照下さい。
特にaが自然数なら、n>aのときにf[n]=0となり、有限個(a+1個)の項だけに展開される訳ですが...
これで良いでしょうか。

でもこれって「2項展開」と言うんでしょうかねえ?
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